Рівняння Чепмена — Колмогорова

Рівняння Чепмена-Колмогорова^[1] — рівняння, що пов'язує умовні ймовірності для марківського процесу в різні моменти часу.

Еволюція функцій густини ймовірності в початковий момент часу ${\displaystyle t_{0}}$(дельта), кінцевий момент часу ${\displaystyle t}$ та в деякий проміжковий момент ${\displaystyle t'}$.

Авторами рівняння є британський математик Сідні Чепмен^[en] та радянський математик Андрій Колмогоров.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle P(z,t|z_{0},t_{0})}$ — умовна функція густини ймовірності для марківського процесу ${\displaystyle \xi (t)}$ (тобто ймовірність знайти випадкову змінну в інтервалі ${\displaystyle z\leq \xi \leq z+dz}$ в момент часу ${\displaystyle t}$ за умови, що ${\displaystyle \xi =z_{0}}$ в момент часу ${\displaystyle t_{0}}$ дорівнює ${\displaystyle P(z,t|z_{0},t_{0})dz}$). Тоді рівняння Чепмена-Колмогорова

${\displaystyle P(z,t|z_{0},t_{0})=\int P(z,t|z',t')P(z',t'|z_{0},t_{0})dz',~~~~t_{0}<t'<t~.}$

пов'яже функції густини ймовірності в початковий момент часу ${\displaystyle t_{0}}$, кінцевий момент часу ${\displaystyle t}$ та в деякий проміжковий момент ${\displaystyle t'}$.

Часто зустрічається запис рівняння Чепмена-Колмогорова через інтервали ${\displaystyle \tau =t'-t_{0}}$ та ${\displaystyle \sigma =t-t'}$. Тоді ${\displaystyle P(z,t|z_{0},t_{0})=P(z|z_{0},\sigma +\tau )}$ і рівняння Чепмена-Колмогорова набуває вигляду

${\displaystyle P(z|z_{0},\sigma +\tau )=\int P(z|z',\sigma )P(z'|z_{0},\tau )dz',~~~~\sigma ,\tau >0~.}$

Застосування

З рівняння Чепмена-Колмогорова отримується рівняння Фоккера-Планка.

Див. також

• Майстер-рівняння
• Марківський процес
• Рівняння Фоккера-Планка