Рівняння Шредінгера — Ньютона

Рівняння Шредінгера — Ньютона (англ. Schrödinger–Newton equation), яке іноді називають рівнянням Ньютона — Шредінгера або рівнянням Шредінгера — Пуассона, є нелінійною модифікацією рівняння Шредінгера із ньютонівським гравітаційним потенціалом, де гравітаційний потенціал виникає внаслідок тлумачення хвильової функції як густини маси. Рівняння можна записати у вигляді окремого інтегро-диференціального рівняння або у вигляді зв'язаної системи рівнянь Шредінгера і Пуассона.

Рівняння Шредінгера — Ньютона вперше розглянули Ремо Руффіні й Сільвано Бонаццола^[1] у зв'язку з дослідженням самогравітуючих бозонних зірок. У контексті класичної загальної теорії відносності воно виникає як нерелятивістська границя рівняння Клейна — Ґордона або рівняння Дірака у викривленому просторі-часі разом із польовими рівняннями Ейнштейна^[2].

Пізніше рівняння було запропоновано як основне рівняння моделі колапсу хвильової функції в роботах Лайоша Діоші^[3] і Роджера Пенроуза^[4][5][6], де власне і з'явилася назва «рівняння Шредінгера — Ньютона». В цій моделі матерія має квантові властивості, але гравітація залишається класичною навіть на фундаментальному рівні. Таким чином, рівняння Шредінгера — Ньютона може бути використано для відповіді на питання, чи є необхідною квантова гравітація^[7].

Крім того, рівняння Шредінгера — Ньютона виникає як наближення Гартрі для взаємної гравітаційної взаємодії в системі багатьох частинок. Відповідне рівняння для електромагнітної кулонівської взаємодії запропонував Філіпп Шокард в 1976 році на Симпозіумі з кулонівських систем у Лозанні, щоб описати однокомпонентну плазму. Елліот Ліб довів існування та єдиність стаціонарного основного стану для цього рівняння і дав йому назву рівняння Шокарда^[8].

Огляд

Як зв'язана система рівнянь, рівняння Шредінгера — Ньютона складаються зі звичайного рівняння Шредінгера з гравітаційним потенціалом:

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi +m\Phi \Psi ,}$

де V — звичайний потенціал, а гравітаційний потенціал ${\displaystyle \Phi }$ задовольняє рівняння Пуассона:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi Gm|\Psi |^{2}.}$

Внаслідок того, що до рівняння для потенціалу входить хвильова функція, система рівнянь Шредінгера — Ньютона є нелінійною.

З іншого боку, в інтегро-диференціальній формі рівняння Шредінгера — Ньютона виглядає таким чином:

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V-Gm^{2}\int {\frac {|\Psi (t,\mathbf {y} )|^{2}}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} \right]\Psi .}$

Це рівняння можна отримати з попередньої системи рівнянь шляхом інтегрування рівняння Пуассона із припущенням, що потенціал прямує до нуля на нескінченності.

З математичної точки зору, рівняння Шредінгера — Ньютона є частковим випадком рівняння Гартрі при n = 2. Рівняння зберігає більшість властивостей звичайного лінійного рівняння Шредінгера, зокрема, воно залишається інваріантним під перетвореннями Галілея, а також при зсуві фази, внаслідок чого виконується закон збереження ймовірності. Крім того, при одночасному виконанні таких перетворень:

${\displaystyle m\to \mu m,\;t\to \mu ^{-5}t,\;\;\mathbf {x} \to \mu ^{-3}\mathbf {x} ,\;\;\psi (t,\mathbf {x} )\to \mu ^{9/2}\psi (\mu ^{5}t,\mu ^{3}\mathbf {x} )}$

розв'язки рівняння Шредінгера — Ньютона переводяться знову у його розв'язки^[9][10]. Стаціонарне рівняння, яке можна отримати звичайним методом відокремлення змінних, має нескінченно багато розв'язків, які можуть бути нормовані, з яких лише стаціонарний основний стан є стійким^[11][12][13].

Колапс хвильової функції

Вперше ідею про те, що гравітація спричиняє колапс хвильової функції (або принаймні впливає на цей процес певним чином), запропонував Фрідьєш Каройхазі у 1966 році^[14]. Пізніше Лайош Діоші розвинув цю ідею, запропонувавши рівняння Шредінгера — Ньютона, що встановлювало певну «межу» між мікроскопічними (квантовими) та макроскопічними (класичними) об'єктами. Стаціонарний основний стан має ширину:

${\displaystyle a_{0}\approx {\frac {\hbar ^{2}}{Gm^{3}}}.}$

Для добре локалізованої гомогенної сфери, тобто сфери з хвильовою функцією центру мас, яка є достатньо вузькою в порівнянні з радіусом сфери, Діоші знайшов таку оцінку ширини хвильової функції центру мас в основному стані:

${\displaystyle a_{0}^{(R)}\approx a_{0}^{1/4}R^{3/4}.}$