Рівняння Пуассона

Рівняння Пуассона — неоднорідне еліптичне рівняння в частинних похідних другого порядку, загального виду

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$,

де ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, ${\displaystyle \varphi }$ — невідома функція, ${\displaystyle f}$ — довільна функція, що не залежить від невідомої.

Зокрема, в електростатиці рівняння, яке описує потенціал електричного поля ${\displaystyle \varphi }$ в системі зарядів, заданих густиною ${\displaystyle \rho }$^[1]

${\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi \rho }$.

Як і для будь-якого іншого неоднорідного лінійного диференціального рівняння розв'язок рівняння є сумою загального розв'язку однорідного рівняння і часткового розв'язку неоднорідного рівняння.

Частковий розв'язок неодрорідного рівняння можна записати через функцію Гріна.

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=4\pi \int {\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}dV^{\prime }}$.

Повний розв'язок задається сумою часткового розв'язку та довільного розв'язку однорідного рівняння Лапласа.

Література

• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;