Секвенційно компактний простір

Топологічний простір називається секвенційно компактним, якщо з будь-якої послідовності в ньому можна виділити збіжну підпослідовність.

Приклади та властивості

Простір дійних чисел в стандартній топології не є секвенційно компактним: послідовність ${\displaystyle s_{n}=n}$ не містить збіжної підпослідовності. Якщо топологічний простір є метричним простором, тоді він є секвенційно компактним тоді й лише тоді коли він є компактним. Але в загальному випадку існують секвенційно компактні простори, які не є компактними (перший незліченний ординал в порядковій топології), та компактні простори які не є секвенційно компактними (добуток континуальної кількості замкнених одиничних інтервалів).

Пов'язані поняття

• Топологічний простір X називається зліченно компактним, якщо з будь-якого зліченного покриття X можна виділити скінченне підпокриття.
• Топологічний простір називається слабко зліченно компактним,якщо будь-яка нескінченна множина в ньому містить граничну точку.

В метричних просторах, поняття компактності, секвенційної компактності, зліченної компактності та слабко зліченної компактності є еквівалентними.

Див. також

• Компактний простір
• Зліченно компактний простір
• Слабко зліченно компактний простір
• Теорема Больцано-Вейєрштрасса
• Локально компактний простір
• σ-компактний простір

Джерела

• Компактні топологічні простори [Архівовано 16 травня 2018 у Wayback Machine.]
• Повні метричні простори [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.]
• Компактні метричні простори [Архівовано 29 березня 2017 у Wayback Machine.]