Трикутник Серпінського

Трикутник Серпінського — фрактал, один із двовимірних аналогів множини Кантора. Його математичний опис був запропонований польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році^[1]. Цей трикутник є одним з найбільш ранніх прикладів фракталів, відомих з середньовіччя.

Трикутник Серпінського
Названо на честь	Вацлав Серпінський
Дата відкриття (винаходу)	1915
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Трикутник Серпінського у Вікісховищі

Даний фрактал відносять до фракталів, які отримують поетапним вилученням частин генератора, тобто до геометричних. Також відомий як «серветка» або «решітка» Серпінського.

Існує кілька способів побудови цього фракталу.

Побудова

Побудова трикутника Серпінського

Мозаїчна підлога у стилі косматеско у Кафедральному соборі Св. Марії в Ананьї

Існує дуже багато способів побудови трикутника Серпінського, їх можна поділити на такі типи:

• Геометричні методи;
• Метод ігор;
• Трикутник Серпінського як результат перетворення трикутника Паскаля;
• Аналітичне задання фракталів з допомогою комплексних чисел;
• Задання фракталів за допомогою систем ітерованих функцій;
• Побудова через кола, круги та ін.;

Найпростішим способом побудови є такий: Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і т. д.^[2] Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина — трикутник Серпінського.

Властивості

• Трикутник Серпінського замкнутий.
• Трикутник Серпінського має топологічну розмірність 1.
• «Площа»  трикутного килима Серпінського дорівнює нулю.
• Важливою властивістю трикутника Серпінського є його самоподібність, адже він складається з трьох своїх копій, зменшених вдвічі.
• Має розмірність Хаусдорфа ${\displaystyle =\ln 3/\ln 2\approx 1,585}$. Зокрема,
  • має нульову міру Лебега.

Цікаві факти

Римська мозаїка 3 — 4 століття в античному музеї міста Арль, Франція

• Якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні — в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
• Утворення, схожі на трикутник Серпінського, виникає в грі Життя з довгої вертикальної лінії.
• Трикутник Серпінського — це множина тих точок вихідного трикутника що не належать жодному з центральних трикутників довільного рангу, тобто нескінченність, що складається з тих точок, що не відкидаються ні на якому з цих етапів.
• Зображення трикутника Серпінського у 1919 р. стали мотивом кількох графічних творів відомого українського графіка Георгія Нарбута
• Варіації на тему трикутника Серпінського використані в оздобленні інтер'єру синагоги Бен-Езра, Каїр, Єгипет
• На основі трикутника Серпінського можуть бути виготовлені багатодіапазонні фрактальні антени.^[2][3]
• Чотири перші ітерації фрактальних трикутників Серпінського присутні в орнаментах геометричної мозаїки стиля косматеско в середньовічних соборах Італії (з XII століття)^[4][5][6], арабських та перських інтер'єрах^[4].

Див. також

• Килим Серпінського
• Піраміда Серпінського
• Правило 90