Розмірність Лебега

Розмі́рність Ле́бега або топологічна розмірність — розмірність, визначена за допомогою покриттів, найважливіший інваріант топологічного простору.^[1] Розмірність Лебега простору ${\displaystyle X}$, зазвичай позначається ${\displaystyle \dim X}$^[1].

Розмірність Лебега
Названо на честь	Анрі Леон Лебег
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Визначення

Для метричних просторів

Для компактного метричного простору ${\displaystyle X}$ розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n із такою властивістю, що при будь-якому ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує скінченне відкрите ${\displaystyle \varepsilon }$-покриття ${\displaystyle X}$, що має кратність ≤ n + 1^[1];

При цьому

• ${\displaystyle \varepsilon }$-покриттям метричного простору називається покриття, усі елементи якого мають діаметр ${\displaystyle <\varepsilon }$, а
• кратністю скінченного покриття простору ${\displaystyle X}$ називається таке найбільше ціле число ${\displaystyle k}$, що існує точка простору ${\displaystyle X}$, що втримується в k елементах даного покриття.

Для топологічних просторів

Для довільного нормального (зокрема, для метризовного) простору ${\displaystyle X}$ розмірністю Лебега називається найменше ціле число ${\displaystyle n}$ таке, що до всякого скінченного відкритого покриття простору ${\displaystyle X}$ існує вписане в нього (скінченне відкрите) покриття ${\displaystyle a}$ кратності n+1.

При цьому покриття ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ називається вписаним у покриття ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$, якщо кожний елемент покриття ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ є підмножиною хоча б одного елемента покриття ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.

Приклади

• Нульвимірні простори: одноточковий простір, дискретний простір, множина Кантора.
• Одновимірні простори: коло, серветка Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера
  • Див. також крива Урисона

Історія

Вперше топологічна розмірність введена Анрі Лебегом. Він висловив гіпотезу, що розмірність ${\displaystyle n}$-мірного куба дорівнює ${\displaystyle n}$. Л. Брауер вперше довів це. Точне визначення інваріанту ${\displaystyle \dim X}$ (для класу метричних компактів) дав П. С. Урисон.^[1]

Див. також

• Фрактал
• Розмірність Гаусдорфа
• Міра множини