Сильний антиланцюг

У математиці, в області теорії порядку, підмножина ${\displaystyle S}$ частково впорядкованої множини (посета) ${\displaystyle P}$ називається:

• сильним нижнім антиланцюгом якщо вона є антиланцюгом, в якому для жодної пари його елементів не існує нижньої грані:

${\displaystyle \forall x,y\in S\;[x\neq y\rightarrow \neg \exists z\in P\;[z\leq x\land z\leq y]].}$

• сильним верхнім антиланцюгом якщо вона є антиланцюгом, в якому для жодної пари його елементів не існує верхньої грані:

${\displaystyle \forall x,y\in S\;[x\neq y\rightarrow \neg \exists z\in P\;[z\geq x\land z\geq y]].}$

Властивості

• Якщо в посеті існує нетривіальний (довжина більше одиниці) сильний нижній антиланцюг, то посет не є нижньою напів-ґраткою.
• Якщо в посеті існує нетривіальний сильний верхній антиланцюг, то посет не є верхньою напів-ґраткою.

Див. також

• Двоїстість (теорія порядку)

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)