Теорія порядку

Тео́рія поря́дку (англ. Order theory) — це галузь математики, яка досліджує інтуїтивне поняття порядку із застосуванням бінарних відношень. Вона забезпечує формальну систему для опису таких тверджень, як «це є меншим за те» або «це передує тому».

Теорія порядку
Тема вивчення/дослідження	частковий порядок і частково впорядкована множина
Теорія порядку у Вікісховищі

Основні означення

Види впорядкування

Використовуючи властивості бінарних відношень описують різні типи впорядкування.

Транзитивні бінарні відношення

	Симетричне	Антисиметричне	Повне	Фундоване	Рефлексивне	Антирефлексивне	Асиметричне
Еквівалентність	Так	✗	✗	✗	Так	✗	✗
Передпорядок	✗	✗	✗	✗	Так	✗	✗
Частковий порядок	✗	Так	✗	✗	Так	✗	✗
Повний передпорядок	✗	✗	Так	✗	Так	✗	✗
Лінійний порядок	✗	Так	Так	✗	Так	✗	✗
Цілковий порядок	✗	Так	Так	Так	Так	✗	✗
Строгий передпорядок	✗	✗	✗	✗	✗	Так	Так
Строгий лінійний порядок	✗	✗	Так	✗	✗	Так	Так

Особливі елементи

• Найбільший та найменший елемент
• Максимальні та мінімальні елементи
• Верхня та нижня межа
• Інфімум та супремум

Операції

• Поєднання та зустріч

Особливі підмножини

• Ланцюг, антиланцюг
• Верхня множина, нижня множина
• Спрямована вверх множина, спрямована вниз множина
• Ідеал, фільтр
• Сильний антиланцюг, загальний фільтр

Висота і ширина

• Шириною посета називається величина максимального антиланцюга. За теоремою Ділуорса ширина рівна мінімальній кількості ланцюгів, на які можна розбити посет.
• Висотою посета називається величина максимального ланцюга. За теоремою Мирського^[en] висота рівна мінімальній кількості антиланцюгів, на які можна розбити посет.

Див. також

• Двоїстість (теорія порядку)
• Циклічний порядок
• Послідовно-паралельний частковий порядок

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Stanley N. Burris, H. P. Sankappanavar. A Course in Universal Algebra. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1981.(англ.)
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4. (англ.)
• Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Mislove, M.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Т. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80338-0. (англ.)

Посилання

• Порядки записом ProvenMath [Архівовано 11 жовтня 2006 у Wayback Machine.]: частковий порядок, лінійний порядок, цілком-впорядкованість, початкова ланка; формальні визначення та доведення в межах аксіом теорії множин. (англ.)
• Nagel, Felix (2013). Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis [Архівовано 25 січня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)