Скалярна матриця

Скалярна матриця — діагональна матриця, елементи головної діагоналі якої є рівними між собою. Прикладами скалярної матриці є одинична матриця і нульова матриця.

${\displaystyle A_{n}={\begin{pmatrix}a&0&\cdots &0&0\\0&a&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &a&0\\0&0&\cdots &0&a\end{pmatrix}}}$

Властивості

• Скалярна матриця — добуток скаляра і одиничної матриці.

${\displaystyle a\cdot E_{n}=A_{n}}$

• Множина скалярних матриц ${\displaystyle n\times n}$ — це матриці, які комутують з усіма матрицями ${\displaystyle n\times n}$, тобто для будь-якої скалярної матриці ${\displaystyle S}$ і матриці ${\displaystyle A}$ того ж разміру ${\displaystyle AS=SA.}$
• ${\displaystyle \operatorname {det} A_{n}=a^{n}}$
• ${\displaystyle \operatorname {rang} A_{n}={\begin{cases}n,&a\not =0\\0,&a=0.\end{cases}}}$
• ${\displaystyle A_{n}^{-1}={\frac {1}{a}}E_{n}}$, де ${\displaystyle E_{n}}$ — одинична матриця
• Скалярні матриці утворюють поле, ізоморфне полю, якому належать елементи матриці.

Скалярною матрицею над полем Р називають матрицю, яка має на головній діагоналі один і той самий елемент ${\displaystyle a}$, а поза головною діагоналлю - нулі. Множина ${\displaystyle R_{n}^{*}}$ усіх скалярних матриць n-го порядку над полем дійсних чисел є комутативним кільцем.

Приклади

Нехай ${\displaystyle Q_{a}={\begin{pmatrix}a&0&...&0\\0&a&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&a\end{pmatrix}}}$ та ${\displaystyle Q_{b}={\begin{pmatrix}b&0&...&0\\0&b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&b\end{pmatrix}}}$ є стихійно вибрані

матриці з множини ${\displaystyle R_{n}^{*}}$. Тоді

${\displaystyle Q_{a}+Q_{b}={\begin{pmatrix}a+b&0&...&0\\0&a+b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&b\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle Q_{a}-Q_{b}={\begin{pmatrix}a-b&0&...&0\\0&a-b&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&a-b\end{pmatrix}},}$ ${\displaystyle Q_{a}Q_{b}={\begin{pmatrix}ab&0&...&0\\0&ab&...&0\\.&.&.&.\\0&0&...&ab\end{pmatrix}}}$

також є скалярними матрицями і, відповідно, належать множині ${\displaystyle R_{n}^{*}}$. 

Див. також

• Діагональна матриця
• Нульова матриця
• Одинична матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Скалярна матриця(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.