Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
Поле Галуа
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
Скінченне поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) — поле, яке складається зі скінченної множини елементів.
Найменше поле Галуа містить лише два елементи: та , арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила . Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування.
Ідея застосування поля полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення , кільця многочленів , тощо.
Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, наприклад, скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полів алгоритми перевірки на простоту і факторизації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.
Для будь-якого простого числа , кільце залишків — це скінчене поле з елементів, яке позначається . Елементи цього поля можуть бути представлені цілими числами , які додаються і множаться «за модулем ».
Будь-яке скінчене поле містить елементів і однозначно задається своєю характеристикою і степенем .
Remove ads
Класифікація
Будь-яке скінчене поле має просту характеристику , тому воно містить в собі просте підполе . З аксіом поля випливає, що являє собою скінченновимірний векторний простір над розмірності .
Довільний елемент задається своїми координатами відносно певного базису, які належать до . Таким чином, поле складається з елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого і натурального . існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з елементів, яке має характеристику і позначається .
Remove ads
Властивості
Циклічність мультиплікативної групи
Ненульові елементи поля утворюють групу щодо операції множення, яка називається мультиплікативною групою поля і позначається . Ця група є циклічною, тобто вона має породжуючий елемент, а всі інші елементи отримуються піднесенням до степеня породжуючого[1].
Породжуючий елемент називається також примітивним елементом поля . Поле містить примітивних елементів, де — Функція Ейлера.[2]
Інші властивості
- Кожен елемент поля задовольняє рівності [3].
- Поле містить в собі як підполе тоді і тільки тоді, коли є дільником [4].
- Якщо — незвідний многочлен степеня , то поле містить будь-який його корінь , причому множина усіх його коренів має вигляд . Таким чином, є полем розкладу многочлена над полем [5].
- Для кожного скінченного поля та натурального числа добуток усіх нормованих незвідних над многочленів, степінь яких ділить , дорівнює . Зокрема, сума степенів таких многочленів дорівнює [6].
- Число нормованих многочленів степеня , незвідних над полем визначається за формулою де — Функція Мебіуса. Це твердження випливає з формули після застосування формули обертання Мебіуса[7].
Remove ads
Приклади
Узагальнити
Перспектива
Поле з двох елементів
Поле складається з двох елементів, але воно може бути задано різними способами залежно від вибору елементів і визначення операцій додавання та множення на них:[8]
- Як множина з двох чисел «» і «», на якій операції додавання та множення визначені як додавання та множення чисел з приведенням результату по модулю :
- Як множина з двох логічних об'єктів «Хибність» (F) і «Істина» (T), на якій операції додавання та множення визначено як булеві операції «виключна диз'юнкція» і «кон'юнкція» відповідно:
Ці поля ізоморфні, тобто фактично це два різні способи задання одного й того ж поля.
Поле з трьох елементів
Поле . Додавання та множення визначені як додавання та множення чисел по модулю . Таблиці операцій мають вигляд:
Поле з чотирьох елементів
Поле можна задати як множину (де — корінь многочлена , тобто ). Таблиці операцій мають вигляд:[9]
Поле з дев'яти елементів
Щоб задати поле достатньо знайти нормований многочлен степеня , незвідний над . Такими многочленами є:
Для полем є (якщо замість взяти інший многочлен, то буде нове поле, ізоморфне старому). В наведених нижче таблиця символ означає клас еквівалентності многочлена у фактор-кільці , який задовольняє рівнянню .
Таблиця додавання в визначається, виходячи з відношення :
Таблиця множення в визначається з співвідношення :
Можна перевірити, що елемент має порядок і є примітивним. Елемент не є примітивним, так як (іншими словами, многочлен не є примітивним[en])[9].
Мультиплікативна група поля з 16 елементів
Коли поле задається з допомогою неприводимого многочлена , елементи розширення задаються наборами коефіцієнтів многочлена, який отримується в залишку при діленні на , записаними в порядку зростання степенів. Мультиплікативна група породжується елементом , який записується як (0, 1, 0, 0)[10].
Remove ads
Історія вивчення
Узагальнити
Перспектива
Початки теорії скінченних полів беруть початок із XVII і XVIII століть. Над цією темою працювали такі вчені, як П'єр Ферма, Леонард Ейлер, Жозеф-Луї Лагранж та Адрієн-Марі Лежандр, яких можна вважати засновниками теорії скінченних полів простого порядку. Однак великий інтерес представляє загальна теорія скінченних полів, що бере свій початок з робіт Гауса та Галуа[11]. До деякого часу ця теорія знаходила застосування лише в алгебрі та теорії чисел, проте згодом були знайдені нові точки дотику з алгебричною геометрією, комбінаторикою та теорією кодування[12].
Внесок Галуа

У 1830 році вісімнадцятирічний Еварист Галуа опублікував працю[13], яка поклала основу загальної теорії скінченних полів. У цій праці Галуа (у зв'язку з дослідженнями перестановок та алгебраїчних рівнянь[14]) запровадив уявний корінь порівняння , де — довільний многочлен степеня , незвідний по модулю . Після цього розглядається загальний вираз , де — деякі цілі числа по модулю . Якщо надавати цим числам різні значення, вираз набуватиме значень. Далі Галуа показав, що ці значення утворюють поле й мультиплікативна група цього поля є циклічною. Таким чином, із цієї праці почались фундаментальні дослідження загальної теорії скінченних полів. На відміну від попередників, які досліджували лише поля , Галуа вивчав уже поля , які назвали полями Галуа на його честь[15].
Насправді, першу працю в цій галузі написав Гаусс приблизно 1797 року, однак за його життя дослідження не було видано. Імовірно, його проігнорував редактор творів Гаусса, тому опублікували цю працю тільки в посмертному виданні 1863 року[16].
Подальший розвиток
У 1893 році математик Еліаким Мур[en] довів теорему про класифікацію скінченних полів, яка стверджує, що будь-яке скінченне поле є полем Галуа, тобто будь-яке поле з елементів ізоморфне полю класів залишків многочленів з коефіцієнтами з по модулю незвідного многочлена степеня [17]. Того ж року першу спробу аксіоматичного підходу до теорії скінченних полів зробив Генріх Мартін Вебер[en], який намагався поєднати в своїй праці визначення, які виникли в різних розділах математики, зокрема, і визначення скінченного поля[18]. Далі у 1905 році Джозеф Веддерберн[en] довів теорему Веддерберна про те, що будь-яке скінченне тіло — комутативне, тобто, є полем. Сучасне аксіоматичне визначення поля (зі скінченними полями як окремим випадком) належить Ернсту Штайніцу і викладено в його праці 1910 року[19].
Remove ads
Див. також
Примітки
Джерела
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads