Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи

Поле Галуа

З Вікіпедії, вільної енциклопедії

Remove ads

Скінченне поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) поле, яке складається зі скінченної множини елементів.

Більше інформації , ...

Найменше поле Галуа містить лише два елементи: та , арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила . Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування.

Ідея застосування поля полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулів й одиниць як елементи деякої алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення , кільця многочленів , тощо.

Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, наприклад, скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полів алгоритми перевірки на простоту і факторизації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.

Для будь-якого простого числа , кільце залишків  — це скінчене поле з елементів, яке позначається . Елементи цього поля можуть бути представлені цілими числами , які додаються і множаться «за модулем ».

Будь-яке скінчене поле містить елементів і однозначно задається своєю характеристикою і степенем .

Remove ads

Класифікація

Будь-яке скінчене поле має просту характеристику , тому воно містить в собі просте підполе . З аксіом поля випливає, що являє собою скінченновимірний векторний простір над розмірності .

Довільний елемент задається своїми координатами відносно певного базису, які належать до . Таким чином, поле складається з елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого і натурального . існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з елементів, яке має характеристику і позначається .

Remove ads

Властивості

Циклічність мультиплікативної групи

Ненульові елементи поля утворюють групу щодо операції множення, яка називається мультиплікативною групою поля і позначається . Ця група є циклічною, тобто вона має породжуючий елемент, а всі інші елементи отримуються піднесенням до степеня породжуючого[1].

Породжуючий елемент називається також примітивним елементом поля . Поле містить примітивних елементів, де  Функція Ейлера.[2]

Інші властивості

  • Кожен елемент поля задовольняє рівності [3].
  • Поле містить в собі як підполе тоді і тільки тоді, коли є дільником [4].
  • Якщо  — незвідний многочлен степеня , то поле містить будь-який його корінь , причому множина усіх його коренів має вигляд . Таким чином, є полем розкладу многочлена над полем [5].
  • Для кожного скінченного поля та натурального числа добуток усіх нормованих незвідних над многочленів, степінь яких ділить , дорівнює . Зокрема, сума степенів таких многочленів дорівнює [6].
  • Число нормованих многочленів степеня , незвідних над полем визначається за формулою де  Функція Мебіуса. Це твердження випливає з формули після застосування формули обертання Мебіуса[7].
Remove ads

Приклади

Узагальнити
Перспектива

Поле з двох елементів

Поле складається з двох елементів, але воно може бути задано різними способами залежно від вибору елементів і визначення операцій додавання та множення на них:[8]

  • Як множина з двох чисел «» і «», на якій операції додавання та множення визначені як додавання та множення чисел з приведенням результату по модулю :
Більше інформації +, × ...
Більше інформації +, F ...

Ці поля ізоморфні, тобто фактично це два різні способи задання одного й того ж поля.

Поле з трьох елементів

Поле . Додавання та множення визначені як додавання та множення чисел по модулю . Таблиці операцій мають вигляд:

Більше інформації +, × ...

Поле з чотирьох елементів

Поле можна задати як множину (де  корінь многочлена , тобто ). Таблиці операцій мають вигляд:[9]

Більше інформації , ...

Поле з дев'яти елементів

Щоб задати поле достатньо знайти нормований многочлен степеня , незвідний над . Такими многочленами є:

Для полем є (якщо замість взяти інший многочлен, то буде нове поле, ізоморфне старому). В наведених нижче таблиця символ означає клас еквівалентності многочлена у фактор-кільці , який задовольняє рівнянню .

Таблиця додавання в визначається, виходячи з відношення :

Більше інформації , ...

Таблиця множення в визначається з співвідношення :

Більше інформації , ...

Можна перевірити, що елемент має порядок і є примітивним. Елемент не є примітивним, так як (іншими словами, многочлен не є примітивним[en])[9].

Мультиплікативна група поля з 16 елементів

Коли поле задається з допомогою неприводимого многочлена , елементи розширення задаються наборами коефіцієнтів многочлена, який отримується в залишку при діленні на , записаними в порядку зростання степенів. Мультиплікативна група породжується елементом , який записується як (0, 1, 0, 0)[10].

Більше інформації Степінь ...
Remove ads

Історія вивчення

Узагальнити
Перспектива

Початки теорії скінченних полів беруть початок із XVII і XVIII століть. Над цією темою працювали такі вчені, як П'єр Ферма, Леонард Ейлер, Жозеф-Луї Лагранж та Адрієн-Марі Лежандр, яких можна вважати засновниками теорії скінченних полів простого порядку. Однак великий інтерес представляє загальна теорія скінченних полів, що бере свій початок з робіт Гауса та Галуа[11]. До деякого часу ця теорія знаходила застосування лише в алгебрі та теорії чисел, проте згодом були знайдені нові точки дотику з алгебричною геометрією, комбінаторикою та теорією кодування[12].

Внесок Галуа

Thumb
Еварист Галуа

У 1830 році вісімнадцятирічний Еварист Галуа опублікував працю[13], яка поклала основу загальної теорії скінченних полів. У цій праці Галуа (у зв'язку з дослідженнями перестановок та алгебраїчних рівнянь[14]) запровадив уявний корінь порівняння , де  — довільний многочлен степеня , незвідний по модулю . Після цього розглядається загальний вираз , де  — деякі цілі числа по модулю . Якщо надавати цим числам різні значення, вираз набуватиме значень. Далі Галуа показав, що ці значення утворюють поле й мультиплікативна група цього поля є циклічною. Таким чином, із цієї праці почались фундаментальні дослідження загальної теорії скінченних полів. На відміну від попередників, які досліджували лише поля , Галуа вивчав уже поля , які назвали полями Галуа на його честь[15].

Насправді, першу працю в цій галузі написав Гаусс приблизно 1797 року, однак за його життя дослідження не було видано. Імовірно, його проігнорував редактор творів Гаусса, тому опублікували цю працю тільки в посмертному виданні 1863 року[16].

Подальший розвиток

У 1893 році математик Еліаким Мур[en] довів теорему про класифікацію скінченних полів, яка стверджує, що будь-яке скінченне поле є полем Галуа, тобто будь-яке поле з елементів ізоморфне полю класів залишків многочленів з коефіцієнтами з по модулю незвідного многочлена степеня [17]. Того ж року першу спробу аксіоматичного підходу до теорії скінченних полів зробив Генріх Мартін Вебер[en], який намагався поєднати в своїй праці визначення, які виникли в різних розділах математики, зокрема, і визначення скінченного поля[18]. Далі у 1905 році Джозеф Веддерберн[en] довів теорему Веддерберна про те, що будь-яке скінченне тіло — комутативне, тобто, є полем. Сучасне аксіоматичне визначення поля (зі скінченними полями як окремим випадком) належить Ернсту Штайніцу і викладено в його праці 1910 року[19].

Remove ads

Див. також

Примітки

Джерела

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads