Автоморфізм

Автоморфізм моделі — ізоморфізм, який відображає модель на саму себе.

Всі автоморфізми даної моделі відносно операції композиції із тотожним відображенням як нейтральним елементом утворює групу.

Група автоморфізмів моделі ${\displaystyle K}$ позначається ${\displaystyle \operatorname {Aut} K}$.

• Автоморфізм множини — перестановка елементів цієї множини (симетрична група).
• Автоморфізм групи — ізоморфізм групи на себе.

Автоморфізм називається внутрішнім, якщо існує такий елемент ${\displaystyle a}$, що ${\displaystyle Auth(G)_{a}(x)=axa^{-1}}$, а в іншому випадку він називається зовнішнім.

Множина всіх внутрішніх автоморфізмів групи G є підгрупою групи автоморфізмів, причому ${\displaystyle Auth(G)_{a}*Auth(G)_{b}=Auth(G)_{ab}}$.^[1]

Множина автоморфізмів групи Лі також утворює групу Лі.^[2]

Визначення

Алгебраїчні структури

${\displaystyle (A,(f_{i}))}$ є алгебраїчною структурою ${\displaystyle A}$ разом з кінцевим числом потоків ${\displaystyle (f_{i})}$. Можуть бути алгебраїчні структури, такі як векторний простір ${\displaystyle (A,(+,\cdot ))}$, група ${\displaystyle (A,*)}$ або кільце ${\displaystyle (A,(+,*))}$. Тоді під алгеброю розуміється автоморфізм ${\displaystyle \phi \colon A\to A}$ взаємно однозначне відображення множини ${\displaystyle A}$ на себе, яка є лінійною, це означає що: ${\displaystyle \phi \left(f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{\sigma _{i}})\right)=f_{i}(\phi (a_{1}),\ldots ,\phi (a_{\sigma _{i}}))}$ для всіх ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{\sigma _{i}}\in A}$. Зворотна функція ${\displaystyle \phi ^{-1}:A\to A}$ в цих умовах є автоматично лінійною.

Теорія категорій

Нехай ${\displaystyle X}$ об'єкт. Морфізм ${\displaystyle f\colon X\to X}$ є автоморфізмом, якщо він є двосторонньо оберненим ${\displaystyle g\colon X\to X}$. Тобто, відповідне відображення ${\displaystyle g\colon X\to X}$ існує, так що виконуються: ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{X}}$ і ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$.

Автоморфізм груп

• Група автоморфізмів групи ${\displaystyle G}$ позначається ${\displaystyle \operatorname {Aut} G}$.
• Відображення ${\displaystyle \alpha _{g}(x)=gxg^{-1}}$ — автоморфізм групи, такі автоморфізми групи називаються внутрішніми.

Множина внутрішніх автоморфізмів позначається ${\displaystyle \operatorname {Int} G}$. Оскільки ${\displaystyle \alpha _{g}\alpha _{h}=\alpha _{hg}}$ та ${\displaystyle \alpha _{g}\alpha _{h}\alpha _{g}^{-1}=\alpha _{g^{-1}hg}\in \operatorname {Int} G}$, то ${\displaystyle \operatorname {Int} G}$ - нормальна підгрупа в ${\displaystyle \operatorname {Aut} G}$.

• Фактор-група ${\displaystyle \operatorname {Out} G=\operatorname {Aut} G/\operatorname {Int} G}$ називається групою зовнішніх автоморфізмів групи, а її елементи - зовнішніми автоморфізмами. Відображення ${\displaystyle g\to \alpha _{h}}$ визначає гомоморфізм ${\displaystyle G\to \operatorname {Int} G}$, ядро якого є центр групи ${\displaystyle Z(G)}$, так що ${\displaystyle \operatorname {Int} G\cong G/Z(G)}$. *
• Всі нормальні підгрупи інваріантні під дією внутрішніх автоморфізмів. Підгрупи, інваріантні під дією всіх автоморфізмів групи, називаються характеристичними.
• Всяка група, що збігається зі своєю групою автоморфізмів, називається досконалою. Досконалими є всі симетричні групи ${\displaystyle S_{n}}$ при ${\displaystyle n\neq 2;6}$.
• Розширення групи, за допомогою групи автоморфізмів, називається голоморфом.

Приклади

• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Q} ^{+}=\mathbb {Q} ^{\times }}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Z} _{n}^{+}=\mathbb {Z} _{\varphi (n)}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {Z} _{p}^{\times }=\mathbb {Z} _{\varphi (p-1)}^{+}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} S_{n}=S_{n},n\neq 2;6}$, * ${\displaystyle \operatorname {Out} S_{6}=\mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {char} K>2\Rightarrow \operatorname {Aut} \operatorname {GL} _{n}(K)=\operatorname {SL} _{n}(K),K}$ - поле характеристики більшої за 2.

Автоморфізми графів

Найменше асиметричне дерево

Найменший асиметричний граф

Автоморфізм графу є відображення безлічі вершин графу на себе, що зберігає суміжність.^[3] Множина таких автоморфізмів утворює вершинну групу графу або просто групу графу. Група підстановок на множині ребер називається реберною групою графу, яка тісно пов'язана з вершинною:

Реберна і вершинна групи графу ізоморфні тоді і тільки тоді, коли є не більше однієїізольованої вершини і немає компонент зв'язності, які складаються з єдиного ребра.^[4]

Граф, для якого єдиний можливий автоморфізм це тотожне відображення, називається асиметричним. Найменше асиметричне дерево має сім вершин, а найменший асиметричний граф шість вершин і стільки ж ребер.

Для будь-якої кінцевої групи знайдеться такий кінцевий неорієнтований граф, що його група автоморфізмів ізоморфна даній.^[5] Результат отриманий Р. Фрухтом, в основі докази - перетворення кольорового графу групи, узагальнення графу Келі.^[6][7]