Спіраль Ферма

Спіраль Ферма (також знана як параболічна спіраль) — це крива, що визначається рівнянням

${\displaystyle r=\pm \ a\theta ^{1/2}\,}$

Спіраль Ферма

в полярних координатах. Загальніший вигляд рівняння: r ² = a ²θ. Спіраль Ферма є одним з видів спіралі Архімеда.^[1]

Втім відмінність від звичайної спіралі Архімеда полягає також у тому, що відстань між сусідніми витками у першій спіралі завжди однакова, а у спіралі Ферма ця закономірність не зберігається.

У Декартовій системі координат рівняння Спіралі Ферма можна записати так:

${\displaystyle {\frac {y}{x}}=tan({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}})}$

Ця формула може бути доведена завдяки зв'язку між полярною системою координат та декартовою:

${\displaystyle x=a\surd \varphi cos\varphi }$; ${\displaystyle y=a\surd \varphi sin\varphi }$; ${\displaystyle \varphi \geq 0}$; ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$, а також враховуючи, що ${\displaystyle \varphi ={\frac {r^{2}}{a^{2}}}}$

Спіраль Ферма і квітка соняшнику

Розміщення простих квіток складної квітки соняшнику згідно з моделлю Фогеля (центральне зображення). Два інших зображення показують розміщення при трохи інших значеннях кута.

У квітці соняшника група спіралей залягає числами Фібоначчі, оскільки дивергенція (кут послідовності в організації спіралей) прямує до золотого відношення. Форма спіралей залежить від росту послідовних елементів. В зрілій квітці (коли всі елементи мають однаковий розмір) спіралі насіння є спіралями Ферма. Це тому, що спіралі Ферма перетинають рівня кільця в однакових положеннях. Повну модель запропонував Фогель 1979 року.^[2] Формула має такий вигляд:

${\displaystyle r=c{\sqrt {n}},}$

${\displaystyle \theta =n\times 137.508^{\circ },}$

де θ — це кут, r — радіус відстані від центру, n — індекс простої квітки і c — це параметр. Кут 137,508° це золотий кут, який є апроксимованим відношенням чисел Фібоначчі.^[3]

Див. також

• Портал «Математика»

• Логарифмічна спіраль
• Гіперболічна спіраль
• Спіраль Архімеда