Спіраль Архімеда

Спіраль Архімеда^{[1] :стор.586 ; [2] :стор.304 ; [3] :стор.8} (також архімедова спіраль ^{[4] :стор.119})  — плоска трансцендентна крива, яку описує точка M під час її рівномірного руху з лінійною швидкістю v уздовж прямої, що рівномірно обертається у площині навколо однієї зі своїх точок О зі сталою кутовою швидкістю ω.

Три витки на 360° однієї гілки спіралі Архімеда

Точку О називають полюсом спіралі Архімеда.

Спіраль названо ім'ям Архімеда, який вивчив її властивості.

Рівняння кривої

• Рівняння спіралі Архімеда у полярній системі координат.
  Якщо в початковий момент руху твірна точка М та полюс О збігаються, а полярна вісь збігається з початковим положенням рухомої прямої, то рівняння спіралі Архімеда у полярній системі координат має вигляд:

$${\displaystyle \rho =a\cdot \varphi }$$

де a = k/2 π = v/ω  — параметр, що відповідає зміщенню точки ${\displaystyle M}$ вздовж прямої, при її повороті на 1 рад;

k = 2 π · a  — крок спіралі Архімеда, тобто відрізок ${\displaystyle MM_{1}}$, що дорівнює зміщенню точки ${\displaystyle M}$ при повному оберті прямої;

${\displaystyle \varphi =\omega \cdot t}$ — полярний кут твірної точки ${\displaystyle M}$, тобто кут повороту прямої від свого початкового положення за час ${\displaystyle t}$..

Права та ліва частини спіралі Архімеда

Додатнім значенням кута ${\displaystyle \varphi \quad (\varphi \geq 0)}$ відповідає права спіраль, тобто спіраль, закручена проти годинникової стрілки; а від'ємним значенням полярного кута ${\displaystyle \varphi \quad (\varphi \leq 0)}$ відповідає ліва спіраль (закручена за годинниковою стрілкою).^{[2] :стор.193}

Рівняння:^{[1] :стор.587}

$${\displaystyle \rho =a\cdot \varphi +\ell }$$

описує спіраль Архімеда з тими ж параметрами, що і у спіралі ${\displaystyle \rho =a\cdot \varphi }$, тільки повернуту відносно полюса на кут ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\ell }{a}}}$ рад за годинниковою стрілкою.

• Рівняння спіралі Архімеда в декартовій системі координат в неявному виді:^{[5]:стор.192}

$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=a\cdot \operatorname {arctg} {\left({\frac {y}{x}}\right)}}$$

Рівняння повернутої спіралі Архімеда:

$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=a\cdot \operatorname {arctg} {\left({\frac {y}{x}}\right)}+\ell }$$

• Рівняння спіралі Архімеда в декартовій системі координат в параметричному виді:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=a\cdot \varphi \cdot \cos \varphi \\y(\varphi )=a\cdot \varphi \cdot \sin \varphi \end{cases}}\qquad 0\leq \varphi <+\infty }$

Метричні характеристики

Нехай спіраль Архімеда задано рівнянням ${\displaystyle \rho =a\cdot \varphi }$.

Тоді:

Ілюстрація до розрахунку довжини дуги спіралі Архімеда

• Довжина дуги спіралі Архімеда між двома її довільними точками ${\displaystyle M_{1}(\rho _{1}\,,\,\varphi _{1})}$ та ${\displaystyle M_{2}(\rho _{2}\,,\,\varphi _{2})}$, що відповідають полярним кутам ${\displaystyle \varphi _{1}}$ та ${\displaystyle \varphi _{2}}$: ^{[5] :стор.194}

$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ dl=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {d\rho ^{2}+dh^{2}}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(ad\varphi )^{2}+(\rho d\varphi )^{2}}}=\\&=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {a^{2}\cdot (d\varphi )^{2}+a^{2}\cdot \varphi ^{2}\cdot (d\varphi )^{2}}}=a\cdot \int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}d\varphi =\\&={\frac {a}{2}}\cdot \left[\varphi \cdot {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}={\frac {a}{2}}\cdot \left[\varphi \cdot {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \varphi \right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\end{aligned}}}$$

Зокрема, довжина дуги спіралі Архімеда від її полюса ${\displaystyle O\quad (\varphi _{1}=0)}$ до довільної точки ${\displaystyle M(\rho \,,\,\varphi )\quad (\varphi _{2}=\varphi )}$ дорівнює:

${\displaystyle \ell ={\frac {a}{2}}\cdot \left[\varphi \cdot {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\cdot \left[\varphi \cdot {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \varphi \right]}$

Також:^{[4] :стор.780}

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &={\frac {1}{2}}\cdot \left[{\frac {\rho \cdot {\sqrt {\rho ^{2}+a^{2}}}}{a}}+\ln \left({\frac {\rho +{\sqrt {\varphi ^{2}+a^{2}}}}{a}}\right)\right]=\\&={\frac {a}{2}}\cdot \left[\operatorname {tg} \alpha \cdot \sec \alpha +\ln \left(\operatorname {tg} \alpha +\sec \alpha \right)\right]\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \alpha }$ — гострий кут між дотичною ${\displaystyle MT}$ в точці ${\displaystyle M}$ спіралі Архімеда та радіус-вектором ${\displaystyle OM}$ цієї точки.

• Площа сектора, що обмежений дугою ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ спіралі Архімеда та двома радіус-векторами ${\displaystyle OM_{1}=\rho _{1}}$ та ${\displaystyle OM_{2}=\rho _{2}}$:

${\displaystyle S_{\text{сект.}}={\frac {1}{a}}\cdot \left(\rho _{2}^{3}-\rho _{1}^{3}\right)}$

Також:^{[4] :стор.779}

${\displaystyle S_{\text{сект.}}={\frac {\omega }{6}}\cdot \left(\rho _{1}^{2}+\rho _{1}\cdot \rho _{2}+\rho _{2}^{2}\right)}$.

де ${\displaystyle \omega =\angle M_{1}OM_{2}}$ — кут між радіус-векторами точок ${\displaystyle M_{1}}$ та ${\displaystyle M_{2}}$; центральний кут сектора.
До того ж цей кут не мустить перевищувати ${\displaystyle 2\pi }$ радіан.

Перший виток спіралі Архімеда

Другий виток спіралі Архімеда

• Площа витків спіралі Архімеда.^{[4] :стор.779—780}

1. 1 Площа першого витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від її полюса ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle A}$ (полярний кут якої ${\displaystyle \varphi =2\pi }$) та відрізком ${\displaystyle OA}$ полярної осі:

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{3}}\cdot \pi k^{2}={\frac {4}{3}}\cdot \pi ^{3}a^{2}={\frac {1}{3}}\cdot S_{1{\text{кр.}}}}$

де ${\displaystyle S_{1{\text{кр.}}}}$ — площа круга з радіусом ${\displaystyle OA}$;
${\displaystyle k=2\pi \cdot a=OA}$ — крок спіралі Архімеда.

Формулу можна отримати з формули площі сектора; стосовно цієї фігури: ${\displaystyle \rho _{1}=0\,;\quad \rho _{2}=k=2\pi a\,;\quad \omega =2\pi }$.

1. 2 Площа другого витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від точки ${\displaystyle A}$ (полярний кут якої ${\displaystyle \varphi =2\pi }$) до точки ${\displaystyle A_{1}}$ (полярний кут якої ${\displaystyle \varphi =4\pi }$) та відрізком ${\displaystyle AA_{1}}$ полярної осі:

${\displaystyle S_{2}={\frac {7}{3}}\cdot \pi k^{2}={\frac {28}{3}}\cdot \pi ^{3}a^{2}={\frac {7}{12}}\cdot S_{2{\text{кр.}}}}$

де ${\displaystyle S_{2{\text{кр.}}}}$ — площа круга з радіусом ${\displaystyle OA_{1}}$.

1. 3 Площа n — го витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від точки ${\displaystyle A_{n-1}}$ (полярний кут якої ${\displaystyle \varphi =2\pi }$) до точки ${\displaystyle A_{n}}$ (полярний кут якої ${\displaystyle \varphi =4\pi }$) та відрізком ${\displaystyle A_{n-1}A_{n}}$ полярної осі:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n^{3}-(n-1)^{3}}{3}}\cdot \pi k^{2}={\frac {n^{3}-(n-1)^{3}}{3n^{2}}}\cdot S_{n{\text{кр.}}}}$

де ${\displaystyle S_{n{\text{кр.}}}}$ — площа круга з радіусом ${\displaystyle OA_{n}}$.

Перший виток (нульове кільце) спіралі Архімеда

${\displaystyle n}$ —е кільце спіралі Архімеда

• Площа кілець спіралі Архімеда.^{[4] :стор.780}

1. Перше кільце спіралі Архімеда — фігура, що утворена відрізком ${\displaystyle OA}$ полярної осі між першим та другим витками спіралі Архімеда, при обертанні полярної осі від її початкового положення на кут ${\displaystyle 2\pi }$ радіан. Фігура обмежена: 1.Відрізком ${\displaystyle OA}$; 2. Першим витком; 3. відрізком ${\displaystyle AA_{1}}$; 4. Другим витком.
2. Друге кільце спіралі Архімеда — фігура, що утворена відрізком ${\displaystyle AA_{1}}$ полярної осі між другим та третім витками спіралі Архімеда, при обертанні полярної осі від її початкового положення на кут ${\displaystyle 2\pi }$ радіан. Фігура обмежена: 1.Відрізком ${\displaystyle AA_{1}}$; 2. Другим витком; 3. відрізком ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$; 4. Третім витком.

Площа ${\displaystyle n}$ —го кільця спіралі Архімеда:

${\displaystyle F_{n}=S_{n+1}-S_{n}=6n\cdot S_{1}}$

де ${\displaystyle S_{n}}$ — площа ${\displaystyle n}$-го витка спіралі Архімеда;
${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{3}}\cdot \pi k^{2}}$ — площа 1-го витка (нульового кільця) спіралі Архімеда.

• Радіус кривини в довільній точці спіралі Архімеда:^{[4] :стор.780 ; [6]}

${\displaystyle R_{c}=a\cdot {\frac {\left(\varphi ^{2}+1\right)^{3/2}}{\varphi ^{2}+2}}={\frac {\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}{\rho ^{2}+2a^{2}}}={\frac {\left(\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1\right)^{3/2}}{\sec ^{2}\alpha +2}}}$.

Трисекція кута та квадратура круга за допомогою спіралі Архімеда

Трисекція кута за допомогою спіралі Архімеда (n=3): ${\displaystyle \beta ={\tfrac {\alpha }{3}}}$

Згідно означення спіралі Архімеда, відстань від початку координат до точки кривої пропорційна куту повороту полярної осі. А, отже, спіраль Архімеда можливо використовувати для поділу довільного кута на ${\displaystyle n}$ рівних частин, а також і для квадратури круга. Тому спіраль Архімеда є одночасно трисектрисою (n=3) і квадратрисою. Обидві задачі (трисекцію кута та квадратуру круга) не можна розв'язати лише за допомогою циркуля і лінійки, але якщо дозволити, щоб спіраль Архімеда була єдиним допоміжним засобом, то вони стають вирішуваними.

Щоб розділити ${\displaystyle \angle BAC}$ на ${\displaystyle n}$ рівних частин, поєднаємо його зі спіраллю Архімеда таким чином, щоб його сторона ${\displaystyle AB}$ сумістилася з полярною віссю ${\displaystyle Ox}$, а вершина ${\displaystyle A}$ кута сумістилася з полюсом ${\displaystyle O}$ спіралі Архімеда. Відрізок другої сторони ${\displaystyle AD}$ кута, від його вершини до точки ${\displaystyle D}$ перетину цієї сторони зі спіраллю, розділимо на ${\displaystyle n}$ рівних частин. Використовуючи теорему Фалеса про пропорційні відрізки, це можна зробити лише за допомогою циркуля і лінійки. Для цього проведемо ще один промінь з вершини кута ${\displaystyle A}$ і за допомогою циркуля позначимо на ньому ${\displaystyle n}$ однакових за довжиною відрізків. З'єднаємо кінцеву точку останнього відрізка з точкою ${\displaystyle D}$ і через ${\displaystyle n-1}$ точки поділу проведемо до цієї лінії низку паралельних ліній до їх перетину з прямою ${\displaystyle AC}$. Точки перетину паралелей зi стороною ${\displaystyle AC}$ ділять відрізок ${\displaystyle AD}$ на ${\displaystyle n}$ однакових за довжиною відрізків. Далі через кожну з ${\displaystyle n-1}$ точок поділу відрізка ${\displaystyle AD}$ з вершини кута ${\displaystyle A}$ проведемо дуги кіл до їх перетину зі спіраллю Архімеда, і отримані точки на спіралі Архімеда з'єднаємо з вершиною ${\displaystyle A}$. Таким чином, отримаємо поділ даного кута на ${\displaystyle n}$ рівних частин. ^[7]

Квадратура круга, виконана Архімедом

Квадратура круга: F(Кругаїї(M,r))=F(ABCD)=F(CJHG)

Для вирішення задачі квадратури круга, тобто побудови квадрата, рівновеликого даному кругу радіуса ${\displaystyle r}$, окреслимо коло радіусом ${\displaystyle r}$ з центром в початку координат, та в цій системі також побудуємо спіраль Архімеда з полюсом в початку координат. Спіраль перетинає вісь y точці ${\displaystyle E}$ і довжина відрізка ${\displaystyle ME}$ дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {r\pi }{2}}}$, оскільки відповідний кут повороту полярної осі дорівнює ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$. Тоді прямокутник, побудований на діаметрі кола і висотою |ME| має таку ж площу, як і круг. Використовуючи теорему про висоту прямокутного трикутника, прямокутник можна перетворити на квадрат рівної площі.

Див. також

• Портал «Математика»

• Гіперболічна спіраль
• Жезл (спіраль)
• Логарифмічна спіраль
• Спіраль Ферма