Стандартне відображення

Стандартне відображення (англ. Standard map), відоме також як стандартне відображення Чирікова (англ. Chirikov standard map) та відображення Чирікова — Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) — нелінійне відображення (що зберігає об'єм) для двох канонічних змінних, ${\displaystyle (p,x)}$ (імпульсу та координати). Відображення відоме своїми хаотичними властивостями, які вперше були досліджені^[1] Борисом Чиріковим в 1969 році.

Відображення задається такими ітераційними рівняннями:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_{n}+K\sin x_{n}\\{x}_{n+1}=x_{n}+{p}_{n+1}\end{array}}}$

де параметр K контролює хаотичність системи.

Модель ротатора

Стандартне відображення описує рух класичного ротатора — фіксованого стрижня, на який не діє сила тяжіння і який обертається без тертя в площині навколо осі, що проходить через один з його кінців. Ротатор також зазнає спричинених зовнішньою силою періодичних в часі (з періодом одиниця) ударів нескінченно короткої тривалості. Змінні ${\displaystyle x_{n}}$ та ${\displaystyle p_{n}}$ відповідають куту повороту ротатора та його кутовому моменту після n-ого удару. Стала K описує силу удару. Функція Гамільтона ротатора може бути записана так:

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2}}+K\cos x~~\delta _{Per}(t),}$

де функція ${\displaystyle \delta _{Per}(t)}$ періодична з періодом 1 функція, що на одному періоді збігається з ${\displaystyle \delta }$-функцією Дірака. З вищенаведеної функції Гамільтона елементарно одержується стандартне відображення.

Властивості

Рис.1. K=0.5

Рис.2. K=0.971635

Рис. 3. K=1.5

Для випадку K=0 відображення є лінійним, тому існують лише періодичні та квазіперіодичні тректорії. При ${\displaystyle K\neq 0}$ відображення стає нелінійним, згідно з теоремою КАМ, відбувається руйнування інваріантних торів та утворення стохастичних шарів, в яких динаміка є хаотичною. Зростання K призводить до збільшення областей хаосу на фазовій площині ${\displaystyle (x,p)}$. Завдяки періодичності функції ${\displaystyle sin(x)}$, динаміку системи можна розглядати на циліндрі [взявши ${\displaystyle x~mod(2\pi )}$] або на торі [взявши ${\displaystyle (x,p)~mod(2\pi )}$].

Стаціонарні точки відображення визначаються з умови
${\displaystyle (x_{n},p_{n})=(x_{n+1},p_{n+1})}$. На інтервалі ${\displaystyle x\in [0,2\pi [}$, ${\displaystyle p\in [0,2\pi [}$ такими точками є ${\displaystyle (0,0)}$ та ${\displaystyle (\pi ,0)}$ (внаслідок симетрчності фазової площини системи ${\displaystyle (x_{n},p_{n})}$ при інверсії стосовно точки ${\displaystyle (\pi ,\pi )}$ стаціонарні точки ${\displaystyle (0,\pi )}$ та ${\displaystyle (\pi ,\pi )}$ можна не розглядати). Аналіз лінійної стійкості відображення зводиться до аналізу системи рівнянь

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\\delta p_{n+1}\end{array}}\right]={\hat {M}}\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n}\\\delta p_{n}\end{array}}\right]~,}$
${\displaystyle ~~~~{\hat {M}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1+K\cos x_{n}\\1&K\cos x_{n}\end{array}}\right].}$
З умови ${\displaystyle \det |{\hat {M}}-\lambda {\hat {I}}|=0}$ можна визначити власні значення матриці ${\displaystyle {\hat {M}}}$ для обидвох стаціонарних точок [${\displaystyle (0,0)}$ та ${\displaystyle (\pi ,0)}$]:
${\displaystyle \lambda _{\pm }^{(0,0)}={\frac {2+K{\pm }{\sqrt {K^{2}+4K}}}{2}}~,}$ ${\displaystyle \lambda _{\pm }^{(\pi ,0)}={\frac {2-K{\pm }{\sqrt {K^{2}-4K}}}{2}}~.}$

Оскільки K>0, то звідси випливає нерівність ${\displaystyle \lambda _{+}^{(0,0)}>1}$. В той же час справедлива нерівність ${\displaystyle \lambda _{-}^{(0,0)}<\lambda _{+}^{(0,0)}<1}$ для довільних K>0. Таким чином стаціонарна точка ${\displaystyle (0,0)}$ є нестійкою гіперболічною точкою. Стаціонарна точка ${\displaystyle (\pi ,0)}$ є стійкою еліптичною точкою при ${\displaystyle 0\geq K<4}$, оскільки тоді ${\displaystyle \Re \left|\lambda _{\pm }^{(\pi ,0)}\right|=1}$. Для ${\displaystyle K\geq 4}$ стаціонарна точка ${\displaystyle (\pi ,0)}$ втрачає стійкість і стає гіперболічною.

Нижче критичного значення параметру, ${\displaystyle K<K_{c}}$ (Рис. 1) інваріантні тори ділять фазовий простір системи так, що момент імпульсу p є обмеженим — іншими словами, дифузія p в стохастичному шарі не може виходити за границі, обмежені інваріантними торами. Золотий інваріантний тор руйнується коли число обертання досягає значення ${\displaystyle r_{g}=({\sqrt {5}}-1)/2}$, що відповідає критичному значенню параметра ${\displaystyle K_{g}=0.971635...}$ (фазовий простір системи для ${\displaystyle K=0.971635}$ зображено на Рис. 2). Зараз строго не доведено, що ${\displaystyle K_{c}=K_{g}}$, проте чисельні розрахунки свідчать, що це найімовірніше так. На сьогоні існує лише строге доведення того, що при ${\displaystyle K>63/64=0.984375...}$. При ${\displaystyle K>K_{c}}$ спостерігається режим глобального хаосу, коли стохастичне море з окремими острівцями стійкості покриває весь фазовий простір (див. рис. 3.). Інваріантних торів, що обмежують еволюцію в фазовому просторі, вже немає і можна говорити про дифузію траєкторії в хаотичному морі.

Ентропія Колмогорова-Синая стандартного відображення добре описується співвідношенням ${\displaystyle h\approx \ln(K/2)}$ для значень контрольного параметра ${\displaystyle K>4}$^[2]

Квантове стандартне відображення

Перехід до квантового стандартного відображення відбувається заміною динамічних змінних ${\displaystyle (p,x)}$ квантовомеханічними операторами ${\displaystyle ({\hat {p}},{\hat {x}})}$, що задовільняють комутаційному співвідношенню ${\displaystyle [{\hat {p}},{\hat {x}}]=-i\hbar }$, де ${\displaystyle \hbar }$ — ефективна безрозмірна стала Планка.

Основною властивістю квантового відображення у порівнянні з класичним є т. зв. явище динамічної локалізації, що полягає в придушенні хаотичної дифузії за рахунок квантових ефектів^[3].

Застосування

Багато фізичних систем та явищ зводяться до стандартного відображення. Це, зокрема

• Динамкіка частинок в прискорювачах;
• Динаміка комети в Сонячній системі;
• Мікрохвильова іонізація рідбергівських атомів та автоіонізація молекулярних рідбергівських станів;
• Електронний магнетотранспорт в резонансному тунельному діоді;
• Конфайнмент заряджених частинок в дзеркальних магнітних пастках;
  

Модель Френкеля — Конторової

Докладніше: Модель Френкеля — Конторової

Модель Френкеля — Конторової слід виділити окремо як першу модель, в якій рівняння стандартного відображення були записані аналітично. Ця модель використовується для опису динаміки дислокацій, моношарів на поверхнях кристалів, хвиль густини заряду, сухого тертя. Модель у стаціонарному випадку задає зв'язок між положеннями взаємодіючих частинок (наприклад атомів) в полі просторово-періодичного потенціалу. Функція Гамільтона одновимірного ланцюжка атомів, що взаємодіють з найближчими сусідами через параболічний потенціал взаємодії та знаходяться в полі косинусоїдального потенціалу, який описує кристалічну поверхню, має насутпний вигляд:
${\displaystyle H=\sum _{n}\left({P_{n}^{2} \over 2}+{(x_{n+1}-x_{n})^{2} \over 2}-K\cos x_{n}\right)~,~~~P_{n}={\dot {x}}_{n}~.}$
Тут ${\displaystyle x_{n}}$ — відхилення атома від свого положення рівноваги. У стаціонарному випадку (${\displaystyle P_{n}\equiv 0}$) це призводить до наступного рівняння

${\displaystyle x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=K\sin x_{n}~,}$

яке заміною ${\displaystyle p_{n+1}=x_{n+1}-x_{n}}$ можна звести до звичайного запису стандартного відображення.

Застосування квантового стандартного відображення

Див. також

• Відображення кола