Структурна теорема Коена

В комутативній алгебрі структурна теорема Коена описує будову повних нетерових локальних кілець. Теорему довів у 1946 році американський математик Ірвінг Коен^[1].

Означення

Нехай R — комутативне локальне кільце Нетер, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — його максимальний ідеал, а ${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$ — відповідне поле лишків.

Кільце R називається еквіхарактеристичним, якщо ${\displaystyle \operatorname {char} R=\operatorname {char} k,}$ тобто кільце і поле лишків мають однакову характеристику. Кільце R є еквіхарактеристичним тоді і тільки тоді коли воно містить деяке підполе (у цьому випадку зі структурної теореми Коена випливає, що воно зокрема містить підполе ізоморфне полю лишків).

Кільце для якого ці характеристики не є однаковими має характеристику 0 або ${\displaystyle p^{n},\ n>1}$, а його поле лишків — характеристику p, де p — просте число і до того ж ${\displaystyle p\in {\mathfrak {m}}\ }$ (у цьому випадку p є сумою одиничних елементів кільця). Якщо ${\displaystyle p\in {\mathfrak {m}}^{2}}$ то кільце називається розщепленим, а якщо ${\displaystyle p\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}}$ — нерозщепленим.

Кільцем коефіцієнтів для кільця R із вказаними властивостями називається підкільце ${\displaystyle S\subset R\ }$ для якого виконуються умови:

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\cap S=pS,\ }$ де ${\displaystyle p=\operatorname {char} k}$
• S є повним локальним кільцем і ${\displaystyle S/(pS)\cong k.}$

У випадку еквіхарактеристичного кільця p = 0 у кільці R і відповідно S і ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\cap S=\{0\},\ }$ тобто S є полем.

У іншому випадку, якщо R має характеристику 0 то S є повною нетеровою областю цілісності, максимальний ідеал якої є головним породженим p. Повне локальне кільце характеристики 0 для якого поле лишків має характеристику p і максимальний ідеал породжується p називається кільцем Коена.

Якщо R має характеристику ${\displaystyle p^{n},\ n>1}$ то S є локальним артиновим кільцем максимальний ідеал якого є породженим елементом p. Також ${\displaystyle S=A/(p^{n})}$ для деякого кільця Коена.

Твердження теореми

• Для повного комутативного локального кільця Нетер R завжди існує кільце коефіцієнтів (яке буде полем ізоморфним полю лишків, якщо R є еквіхарактеристичним)
• Повне комутативне локальне кільце Нетер R є факторкільцем повного регулярного локального кільця.
• Еквіхарактеристичне регулярне локальне кільце R розмірності d є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів ${\displaystyle k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]].}$
• Регулярне локальне кільце R розмірності d, що не є еквіхарактеристичним і є нерозщепленим є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів над кільцем Коена ${\displaystyle S[[x_{1},\ldots ,x_{n}]],}$ де S — кільце коефіцієнтів R.
• Регулярне локальне кільце R розмірності d, що не є еквіхарактеристичним і є розщепленим є ізоморфним факторкільцю кільця многочленів виду ${\displaystyle A[[X]]/(f(X)),}$ де A — еквіхарактеристичне і є нерозщеплене регулярне локальне кільце кільце коефіцієнтів якого є рівним кільцю коефіцієнтів R (тобто можна вважати ${\displaystyle A=S[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$), а f(X) — многочлен Ейзенштейна, тобто ${\displaystyle f(X)=X^{r}+c_{1}X^{r-1}+\ldots +c_{r}}$ і всі ${\displaystyle c_{i}\in {\mathfrak {m}}}$ і також ${\displaystyle c_{r}\not \in {\mathfrak {m}}^{2}.}$