Суми Клоостермана

Суми Клоостермана — предмет вивчення аналітичної теорії чисел, тригонометричні суми над елементами кільця лишків, оберненими за модулем елементами деякої множини з природною структурою (як правило, інтервалу або простих чисел з інтервалу).

Перші оцінки сум отримав 1926 року Клоостерман^[en] у зв'язку з дослідженням кількості подань чисел у вигляді ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}}$^[1].

Визначення

Нехай ${\displaystyle q\geq 3}$ — довільне ціле число і для ${\displaystyle n\in {\mathbb {F} }_{q}}$ взаємнопростого з ${\displaystyle q}$ введено позначення ${\displaystyle n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}}$. Тоді для ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {F} }_{q}}$ повною сумою Клоостермана називають суму вигляду

${\displaystyle S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .}$

Неповною називають суму за деяким інтервалом ${\displaystyle \sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}}$^[2].

Іноді розглядають суми за простим^[3], полілінійні суми за участю обернених елементів^[4] та інші суми вигляду ${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}}$, де ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{q}}$.

За заданого ${\displaystyle q}$ зазвичай оцінюють суми Клоостермана за довільних ${\displaystyle a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}$, зокрема величину ${\displaystyle S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)}}$.

Властивості

При ${\displaystyle a=0}$ повні суми Клоостермана вироджуються в суми Рамануджана.

Якщо ${\displaystyle (q_{1},q_{2})=1}$, то ${\displaystyle S(q)=S(q_{1})S(q_{2})}$, тому питання оцінки ${\displaystyle S(q)}$ зводиться до випадку ${\displaystyle q=p^{n}}$.

Оцінки

${\displaystyle |S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q}}}$, де ${\displaystyle \tau (q)}$ — число дільників. З цього виходить що ${\displaystyle \sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)}$ для будь-кого ${\displaystyle x<q}$^[5].

Для сум останнього вигляду при ${\displaystyle q=p,\ b=0}$ відомі також інші оцінки, нетривіальні при ${\displaystyle x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)}$^[6].