Клас суміжності групи

В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи.

Означення

Нехай ${\displaystyle G}$ — деяка група, ${\displaystyle H}$ — її підгрупа. Множину

${\displaystyle gH=\{gh:h\in H\}\subseteq G}$ називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі ${\displaystyle \ H}$ для елемента ${\displaystyle g\in G}$,

${\displaystyle Hg=\{hg:h\in H\}\subseteq G}$ називають правостороннім класом суміжності по підгрупі ${\displaystyle \ H}$ для елемента ${\displaystyle g\in G}$.

Приклад

Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатне ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.^[1]

Властивості

• ${\displaystyle \ gH=H}$ тоді і лише тоді коли ${\displaystyle g\in H}$

Справді оскільки ${\displaystyle 1\in H}$ то також ${\displaystyle g\in H.}$ З іншої сторони рівняння ${\displaystyle gx=a}$ де ${\displaystyle g,a\in H}$ завжди має розв'язок ${\displaystyle x\in H.}$

• Якщо :${\displaystyle f\in gH}$ то тоді ${\displaystyle \ fH=gH}$

Справді нехай ${\displaystyle f=gh,h\in H.}$ Тоді:

${\displaystyle \ fH=ghH=gH,}$ де остання рівність випливає з попередньої властивості.

• Якщо: ${\displaystyle f\notin gH,}$ тоді ${\displaystyle fH\bigcap fG=\emptyset }$

Припустимо ${\displaystyle fh_{1}=gh_{2};h_{1},h_{2}\in H.}$ Тоді:

${\displaystyle f_{=}gh_{2}h_{1}^{-1}}$ і оскільки ${\displaystyle h_{1}h_{2}^{-1}\in H,}$ то також ${\displaystyle f\in gH,}$;

З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності:

${\displaystyle f\sim g}$ якщо ${\displaystyle fH=gH.}$

• ${\displaystyle f\sim g\iff f^{-1}g\in H}$

Справді маємо ${\displaystyle f=gh,h\in H,}$ звідки:

${\displaystyle 1=f^{-1}gh}$ і ${\displaystyle f^{-1}g=h^{-1}\in H.}$

• Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності.
• Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH.

Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:

• ${\displaystyle l_{g}\colon H\to gH,\;h\mapsto gh}$

  ${\displaystyle p_{g}\colon H\to Hg,\;h\mapsto hg}$

• Кількості правих і лівих класів суміжності (індекс підгрупи, позначається ${\displaystyle |G:H|}$) рівні між собою і виконується рівність:

${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$. (теорема Лагранжа).