Сферична теорема синусів

Сферична теорема синусів установлює пропорційність між синусами сторін a, b, c і синусами протилежних цим сторонам кутів A, B, C сферичного трикутника:

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.}$

Сферична теорема синусів є аналогом плоскої теореми синусів і перетворюється на останню в границі за малих довжин сторін трикутників порівняно з радіусом сфери.

Доведення

Малюнок до доведення теореми синусів за допомогою проєкцій.

Доведення за допомогою проєкцій.^[1]. На малюнку показано сферичний трикутник ABC на сфері радіуса R із центром у точці O. BP — перпендикуляр до площини великого кола, яке проходить через сторону b, BM — перпендикуляр до OC, BN — перпендикуляр до OA. За твердженням, оберненим до теореми про три перпендикуляри, PM — перпендикуляр до OC, PN — перпендикуляр до OA. Зауважимо, що кут PMB дорівнює π — C, крім того, BN = R sin c і BM = R sin a. Далі, проєктуємо BN і BM на BP, маємо:

${\displaystyle BP=BN\sin \angle BNP=R\sin c\sin A,}$

${\displaystyle BP=BM\sin \angle PMB=R\sin a\sin(\pi -C)=R\sin a\sin C,}$

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}$

Аналогічно отримуємо другу рівність.

Доказ, що спирається на вже доведені співвідношення між сторонами та кутами прямокутного сферичного трикутника. Опустимо з вершини C перпендикуляр CD = h на сторону с або її продовження. Виразимо h двома способами з виниклих при цьому прямокутних трикутників ACD і BCD:

${\displaystyle \sin h=\sin b\sin A=\sin a\sin B.}$

Звідси отримуємо пропорцію

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}},}$

до якої аналогічно додаємо відношення третьої пари «сторона-кут».

Історія

Теорему синусів для сферичних трикутників сформульовано й доведено у творах низки математиків середньовічного Сходу, які жили в X столітті — Абу-ль-Вафи, аль-Худжанді та Ібн Ірака^[en]. Вона дозволила спростити розв'язання низки задач сферичної астрономії, які раніше розв'язували за допомогою теореми Менелая для чотирибічника.

Див. також

• Розв'язування трикутників
• Сферична тригонометрія
• Теорема косинусів (сферична геометрія)
• Теорема синусів