Таблиця істинності

Табли́ця і́стинності — математична таблиця, що широко використовується у математичній логіці зокрема в алгебрі логіки, численні висловлень для обчислення значень булевих функцій.

В двозначній логіці вони можуть приймати значення «істина» або «хиба» (${\displaystyle ~true}$ або ${\displaystyle ~false}$, ${\displaystyle ~1}$ або ${\displaystyle ~0}$).

Табличне задання функцій зустрічається не тільки в логіці, але для логічних функцій таблиці виявилися особливо зручними, і з початку 20 століття за ними закріпилася ця спеціальна назва.

Таблиці істинності для логічних операцій

${\displaystyle \mathbf {A} }$	Заперечення ${\displaystyle \mathbf {\lnot A} }$	Тавтологія ${\displaystyle \top }$	Протиріччя ${\displaystyle \bot }$
0	1	1	0
1	0	1	0

${\displaystyle \mathbf {A} }$	${\displaystyle \mathbf {B} }$	Кон'юнкція, AND ${\displaystyle A\land B}$	Диз'юнкція, OR ${\displaystyle A\lor B}$	Виключна диз'юнкція, XOR ${\displaystyle A\oplus B}$	Еквівалентність, XNOR ${\displaystyle \ A\leftrightarrow B}$	Імплікація ${\displaystyle \ A\rightarrow B}$	Неімплікація ${\displaystyle \ A\nrightarrow B}$	Обернена імплікація ${\displaystyle \ A\leftarrow B}$	Обернена неімплікація ${\displaystyle \ A\nleftarrow B}$	Штрих Шефера, NAND ${\displaystyle \ A|B}$	Стрілка Пірса, NOR ${\displaystyle \ A\downarrow B}$
0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	1	0	0	0
альтернативне позначення		${\displaystyle AB}$	${\displaystyle A+B}$	${\displaystyle A{\underline {\lor }}B}$	${\displaystyle A{\overline {\underline {\lor }}}B}$	${\displaystyle A\Rightarrow B}$	${\displaystyle A\nRightarrow B}$	${\displaystyle A\Leftarrow B}$	${\displaystyle A\nLeftarrow B}$	${\displaystyle A{\overline {\land }}B}$	${\displaystyle A{\overline {\lor }}B}$
графічно

Використання

З використанням таблиць істинності можна обчислити значення деяких логічних виразів (формул) через значення аргументів, що входять в них, а також довести еквівалентність двох формул. Наприклад:

Логічна еквівалентність : ${\displaystyle (p\rightarrow q)=(\lnot p\lor q)}$

${\displaystyle p\;}$	${\displaystyle q\;}$	${\displaystyle \lnot p\;}$	${\displaystyle \lnot p\lor q\;}$	${\displaystyle p\rightarrow q\;}$
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

З цієї таблиці одержуємо, що вираз ${\displaystyle ~p\to q}$ є еквівалентним ${\displaystyle ~\neg p\ \lor \ q}$.

За допомогою таблиць істинності можна доволі просто довести, що деякі формули є тавтологіями тобто приймають значення «Істина» при будь-яких значеннях аргументів. Наприклад:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|}\hline p&q&r&p\lor q&\neg (p\lor q)&p\to r&\neg (p\lor q)\to (p\to r)\\\hline 1&1&1&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0&1\\1&0&1&1&0&1&1\\1&0&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&1\\0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&0&1&1&1\\\hline \end{array}}}$

Див. також

• Математична логіка
• Алгебра логіки
• Числення висловлень
• Математичні таблиці

Джерела

• Дрозд Ю. А. (2004). Дискретна математика (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 70. (укр.)
• Дрозд Ю. А. (2005). Основи математичної логіки (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 96. (укр.)
• Weisstein, Eric W. Таблиця істинності(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Таблиця істинності на PlanetMath.(англ.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), істинності Таблиця істинності, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4