Теорема Варіньона (геометрія)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Теорема Варіньона.

Теоре́ма Варіньо́на — чотирикутник, вершини якого збігаються з серединами сторін довільного чотирикутника, є паралелограмом, сторони якого паралельні до діагоналей вихідного чотирикутника.

Ілюстрация до доведення теореми Варіньона. Червоний чотирикутник — паралелограм

Теорема доведена французьким математиком П'єром Варіньоном (1654–1722) і опублікована у 1731 році у його лекційному курсі «Елементи математики» (фр. «Elemens de mathematique»)^[1].

Скорочене формулювання:

Середини сторін довільного чотирикутника є вершинами паралелограма.

Паралелограм, утворений серединами сторін, іноді називається варіньонівським, варіньоновим чи паралелограмом Варіньона.

Центр паралелограма Варіньона лежить на середині відрізка, що з'єднує середини сторін вихідного чотирикутника (у цій же точці перетинаються відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін — діагоналі варіньонівського паралелограма).

Площа паралелограма Варіньона дорівнює половині площі вихідного чотирикутника.

Наслідок з теореми: для прямокутника і рівнобедреної трапеції паралелограмом Варіньона є ромб, а для ромба — прямокутник.

Доведення

Проведемо діагональ AC. Відрізки EF та GH будуть середніми лініями трикутників ${\displaystyle \triangle ABC}$ і ${\displaystyle \triangle ADC}$. За теоремою про середню лінію, відрізки будуть паралельними до діагоналі, а, значить, і один до одного. Повторивши аналогічні міркування для діагоналі BD, отримуємо, що протилежні сторони чотирикутника EFGH взаємопаралельні, і, за ознаками, це — паралелограм.

Нехай діагональ ${\displaystyle AC}$ проходить всередині чотирикутника. Тоді площа трикутника ${\displaystyle ABC}$ дорівнює ${\displaystyle {\frac {AC\cdot h_{b}}{2}}}$, де ${\displaystyle h_{b}}$ --- висота трикутника ${\displaystyle ABC}$, що опущена з вершини ${\displaystyle B}$. Аналогічно, площа трикутника ${\displaystyle ADC}$ дорівнює ${\displaystyle {\frac {AC\cdot h_{d}}{2}}}$. Тоді площа всього чотрикутника дорівнює ${\displaystyle {\frac {AC(h_{b}+h_{d})}{2}}}$. Але ${\displaystyle {\frac {(h_{b}+h_{d})}{2}}={\frac {h_{b}}{2}}+{\frac {h_{d}}{2}}}$ — це сума відстаней до прямої ${\displaystyle AC}$ від точок ${\displaystyle E}$ та ${\displaystyle H}$, тобто є висотою паралелограма ${\displaystyle EHGF}$. Оскільки сторона ${\displaystyle GH}$ паралелограма є удвічі меншою ${\displaystyle AC}$, то і площа паралелограма дорівнює половині площі ${\displaystyle ABCD}$.

Теорема Варіньона справедлива для всіх видів чотирикутників^[2]

опуклий чотирикутник	неопуклий чотирикутник	чотирикутник із сторонами, що перетинаються