Паралелограм

Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Паралелограм
Цей паралелограм є ромбоїдом, оскільки він не має прямих кутів і його сторони не рівні.
Вид	Чотирикутник
Ребра і вершини	4
Група симетрії[en]	C2, [2]+, (22)
Площа	b × h (основа × висота); ab sin θ (добуток прилеглих сторін на синус кута при будь-якій вершині)
Властивості	опуклий

Існує декілька видів паралелограм

• Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі;
• Ромб — паралелограм, всі чотири сторони якого рівні між собою;
• Квадрат — рівнобічний прямокутник або ромб з прямими кутами при вершинах.

Паралелограм є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному просторі є паралелепіпед.

Особливі випадки

• Ромбоїд — чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні, а прилеглі сторони не рівні, а його кути не є прямими кутами.
• Прямокутник — паралелограм, чотири кути якого рівні (прямі).
• Ромб — паралелограм, чотири сторони якого є рівними.
• Квадрат — паралелограм, чотири сторони і чотири кути якого є рівними.

Властивості

Простий (не перехрещений) чотирикутник є паралелограмом тоді й лише тоді якщо одне із наведених нижче тверджень є вірним:^[1][2]

• Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто ${\displaystyle AB=DC}$ та ${\displaystyle AD=BC}$.
• Протилежні кути паралелограма рівні, тобто ${\displaystyle \angle A=\angle C}$ та ${\displaystyle \angle B=\angle D}$.
• Діагоналі паралелограма перетинаються та точкою перетину діляться навпіл.
• Одна пара протилежних сторін є паралельними і мають однакову довжину.
• Кожна з діагоналей поділяє чотирикутник на два конгруентні трикутники.
• Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Загальна сума кутів паралелограма дорівнює ${\displaystyle 360^{\circ }}$.
• Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів двох його суміжних сторін (правило паралелограма).
• Сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки до сторін не залежить від місця розташування точки.^[3] (Це твердження є продовженням теореми Вівіані.)

Інші властивості

• В паралелограмі дві сторони рівні та паралельні.
• В паралелограмі протилежні сторони попарно рівні.
• В паралелограмі протилежні кути попарно рівні.
• Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
• Будь-яка пряма, яка проходить через центр паралелограма поділяє його площу навпіл.^[4]
• Сума кутів при кожній стороні становить ${\displaystyle 180^{\circ }}$.
• В паралелограмі діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
• Діагоналі паралелограма поділяють його на чотири трикутника однакової площі.

Площа паралелограма

Паралелограм можна перебудувати у прямокутник з такою ж площею.

Анімація для формули визначення площі ${\displaystyle S=bh}$.

Паралелограм із основою b і висотою h можна розділити на трапецію і прямокутний трикутник, і перебудувати у прямокутник, як показано на малюнку праворуч. Це означає, що площа паралелограма є такою ж як у прямокутника із такою ж основою і висотою:

${\displaystyle S=bh.}$

Іншими словами, площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, яка перпендикулярна до цієї сторони:

${\displaystyle S=DC\cdot h_{DC}=BC\cdot h_{BC}}$.

Площа паралелограма, це площа внутрішньої області, що виділена синім і визначається як :${\displaystyle S=B\cdot C\cdot \sin \theta \,}$, де B і C — сторони паралелограма.

Також площа паралелограма рівна добутку двох його непаралельних сторін та синуса кута між ними:

${\displaystyle S=DC\cdot AD\cdot \sin \angle D=DC\cdot BC\cdot \sin \angle C.}$

Якщо розглядати паралелограм як геометричну фігуру, яка побудована на двох векторах ${\displaystyle {\vec {DA}}}$ та ${\displaystyle {\vec {DC}}}$, то площа паралелограма буде дорівнювати модулю векторного добутку цих векторів: ${\displaystyle S=|{\vec {DC}}\times {\vec {DA}}|=|DC|\cdot |DA|\cdot \sin \angle ADC.}$

Площа паралелограма (як і будь-якого чотирикутника без самоперетинів) рівна півдобутку діагоналей, помноженому на синус кута між ними: ${\displaystyle S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \gamma }{2}}}$.

Площа паралелограма із сторонами B і C (B ≠ C) і кутом ${\displaystyle \gamma }$ утвореним перетином діагоналей дорівнює наступному^[5]

${\displaystyle S={\frac {|{\tan \gamma }|}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

Якщо паралелограм заданий довжинами B і C двох прилеглих сторін і довжиною однієї з діагоналей D₁, тоді площу можна знайти за допомогою формули Герона. Що задається наступним чином

${\displaystyle S=2{\sqrt {K(K-B)(K-C)(K-D_{1})}}}$

де ${\displaystyle K=(B+C+D_{1})/2}$ і перший множник 2 додано оскільки, будь-яка обрана діагональ поділяє паралелограм на два конгруентні трикутники.

Площа паралелограма при відомих декартових координатах вершин

Нехай існують вектори ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}}$ і нехай ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$ позначає матрицю елементів a і b. Тоді площею паралелограма, що заданий за допомогою a і b буде ${\displaystyle |\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,}$.

Нехай існують вектори ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ і нехай ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}}$. тоді площа паралелограма, що задана за допомогою a і b буде дорівнювати ${\displaystyle {\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$.

Нехай існують точки ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}}$. Тоді площа паралелограма із вершинами в точках a, b і c є еквівалентною абсолютному значенню детермінанта матриці, що побудована так, що a, b і c є її рядками і остання колонка доповнена одиницями, як наведено нижче:

${\displaystyle S=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.}$

Доведення, що діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

Паралелограм ABCD

Аби довести, що діагоналі паралелограма перетинаються, використаємо конгруентні трикутники:

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$ (внутрішні різносторонні кути рівні за розміром)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$ (внутрішні різносторонні кути рівні за розміром).

(оскільки це кути, що утворені перетином прямої із двома паралельними прямими AB і DC).

Також, сторона AB має таку ж саму довжину, що і сторона DC, оскільки протилежні сторони паралелограма є рівними.

Таким чином, трикутники ABE і CDE конгруентні (постулат Кут-Сторона-Кут (КСК), два відповідні кути і прилегла сторона).

Тому,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

Оскільки діагоналі AC і BD поділяють одна одну на відрізки однакової довжини, діагоналі перетинають одна одну.

Відповідно, оскільки діагоналі AC і BD перетинають одна одну в точці E, точка E є серединою кожної діагоналі.

Див. також

• Правило паралелограма
• Трапеція
• Паралелограм сил
• Антипаралелограм