Теорема Лебега про щільність

Теорема Лебега про щільність — результат теорії міри, який інтуїтивно можна розуміти так, що множина «граничних точок» вимірної множини має міру нуль.

Твердження

Позначимо через ${\displaystyle \lambda }$ міру Лебега на евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — вимірна множина. Для довільної точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle \varepsilon >0}$ розглянемо значення

${\displaystyle d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}}$,

де ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x)}$ позначає кулю з центром в ${\displaystyle x}$ і радіусом ${\displaystyle \varepsilon }$. Величину ${\displaystyle d_{\varepsilon }(x)}$ можна інтерпретувати як приблизна щільність множини ${\displaystyle A}$ в точці ${\displaystyle x}$.

тоді

${\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

існує і дорівнює 1 для майже кожної точки ${\displaystyle x\in A}$.

Зауваження

• Величина ${\displaystyle d(x)}$, якщо визначена, називається щільністю множини ${\displaystyle A}$ в точці ${\displaystyle x}$.
• Інакше кажучи, теорема стверджує, що щільність будь-якої вимірної множини ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ приймає значення 0 або 1 майже всюди в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Якщо множина і її доповнення мають додатну міру, то завжди знайдуться точки із щільністю не рівною 0 і 1.

Приклади

Наприклад, дано квадрат в площині, щільність в кожній точці всередині квадрата дорівнює 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, і 0 поза квадрата; сторони і вершини квадрата є множинами міри нуль.

Варіації і узагальнення

• Теорема про щільність є окремим випадком теореми Лебега про диференціювання.

Див. також

• Теорема Лебега про диференціювання

Література

• Натансон І. П. Теорія функцій дійсної змінної. — Москва, 1974.
• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1