Формула Остроградського

Формула Острогра́дського — формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл від дивергенції цього поля по об'єму, замкнутий під поверхнею.

Якщо векторне поле задане диференційовними функціями ${\displaystyle P(x,y,z)}$, ${\displaystyle Q(x,y,z)}$ та ${\displaystyle R(x,y,z)}$, то

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dxdydz=\iint \limits _{S}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy}$.

У векторній формі її можна переписати як

${\displaystyle \iiint \limits _{V}{\text{div}}\,\mathbf {F} dV=\iint \limits _{S}\mathbf {F} d\mathbf {S} }$,

де

${\displaystyle \mathbf {F} }$ — векторне поле.

Михайло Васильович Остроградський довів цю рівність у 1831 році.

Окремі випадки загальної формули були відомі й раніше. Двовимірний аналог цієї формули називають формулою Гріна, а сама формула також відома під назвою формула Гаусса або формула Остроградського — Гаусса.

Твердження формули є окремим випадком загальної теореми Стокса.

Теорема Остроградського застосовується при вивченні процесів, які описуються векторними полями (напр., гравітаційним полем, полем напруг, електромагнітним та магнітним полями, полем швидкостей рідини тощо).

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)