Теорема Персеваля

У математиці під теоремою Парсеваля^[1] зазвичай розуміють унітарність перетворення Фур'є; тобто, що сума (або інтеграл) квадрата функції дорівнює сумі (або інтегралу) квадрата його перетворення. Вона бере початок із теореми про ряди Марка-Антуана Парсеваля (1799 р.), яка згодом була застосована до рядів Фур'є. Також дана теорема відома як теорема Релая про енергію, або тотожність Релея, після Джона Вільяма Стретта, Лорда Релея.^[2]

Хоча термін теорема Парсеваля часто використовується для опису унітарності будь-якого перетворення Фур'є, особливо у фізиці, найбільш загальну форму цієї властивості коректніше називати Теорема Планшереля.^[3]

Формулювання теореми Парсеваля

Нехай ${\displaystyle A(x)}$ і ${\displaystyle B(x)}$ — дві комплекснозначні функції на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ з періодом ${\displaystyle 2\pi }$, що є квадратично-інтегрованими (відносно міри Лебега) на інтервалах довжини періоду, з рядами Фур'є

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\rm {e}}^{inx}}$

та

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}{\rm {e}}^{inx}}$

відповідно. Тоді

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,{\rm {d}}x,}$

де ${\displaystyle i}$ — уявна одиниця, а горизонтальні риски позначають комплесну спряженість.

У загальному випадку, для абелевої локально компактної групи ${\displaystyle G}$ з дуальною групою Понтрягіна ${\displaystyle G^{\wedge }}$ теорема Парсеваля стверджує, що перетворення Понтрягіна-Фур'є є унітарним оператором між просторами Гільберта ${\displaystyle L^{2}(G)}$ та ${\displaystyle L^{2}(G^{\wedge })}$ (з інтегруванням по відношенню до належним чином відмасштабовуваної міри Хаара для двох груп). Якщо ${\displaystyle G}$ — одиничне коло ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle G^{\wedge }}$ — цілі числа, то це відповідає випадку про який говорилося вище. Якщо ${\displaystyle G}$ — дійсна пряма ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle G^{\wedge }}$ — також ${\displaystyle \mathbb {R} }$, тоді унітарне перетворення — це перетворення Фур'є на дійсній прямій. Якщо ${\displaystyle G}$ — циклічна група ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{n}}$, то вона знову самодуальна, а перетворення Понтрягіна-Фур'є — це те, що називають дискретним перетворенням Фур'є у прикладних застосуваннях.

Теорема Парсеваля також може бути сформульована наступним чином: нехай функція ${\displaystyle f(x)}$ є квадратично-інтегрованою на відрізку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ (тобто функції ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle f^{2}(x)}$ інтегровні на цьому відрізку) та має наступний розклад у ряд Фур'є:

${\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).}$

Тоді^[4][5][6]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).}$

Позначення, що використовуються у фізиці

У фізиці та техніці теорема Парсеваля часто записується як

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f,}$

де ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ — неперервне перетворення Фур'є (в нормалізованій, унітарній формі) функції ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ — частота в радіанах за секунду.

Інтерпретація цієї форми теореми полягає в тому, що повна енергія сигналу може бути обчислена шляхом підсумовування енергії за часовою вибіркою або енергії його спектру за частотою.

Для сигналів дискретних у часі теорема набуває вигляду:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi ,}$

де ${\displaystyle X_{2\pi }}$ — перетворення Фур'є з дискретним часом для сигналу ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \phi }$ — кутова частота (наприклад, в радіанах) сигналу ${\displaystyle x}$.

Навпаки, для дискретного перетворення Фур'є співвідношення набуває вигляду:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2},}$

де ${\displaystyle X[k]}$ — дискретне перетворення Фур'є для сигналу ${\displaystyle x[n]}$, обидва довжини ${\displaystyle N}$.

Див. також

Теорема Парсеваля тісно пов'язана з іншими математичними результатами, що використовують унітарні перетворення:

• Рівність Парсеваля
• Теорема Планшереля
• Теорема Вінера — Хінчіна — Колмогорова^[en]
• Нерівність Бесселя
• Ряд Фур'є