Теорема Ремзі

Теорема Ремзі — теорема, винайдена англійським математиком Френком Ремзі, стосується комбінаторики, теорії графів та теорії множин.

Двоколірний повний граф потужності 5, без монохроматичного повного підграфа потужності 3

Для двоколірного графа

Для довільних натуральних чисел ${\displaystyle \ r,s}$ існує натуральне число ${\displaystyle \ R(r,s)}$, таке що в повному графі з R(r, s) вершин, ребра якого розфарбовані в два кольори, знайдеться

• або повний підграф розміру ${\displaystyle \ r}$ першого кольору,
• або повний підграф розміру ${\displaystyle \ s}$ другого кольору.

Теорема узагальнюється на довільну кількість кольорів та на гіперграфи.

Для гіперграфа

m-гіперграфом є гіперграф, ребра якого є набором із m вершин.

Для натуральних чисел ${\displaystyle \ m,c,n_{1},\ldots ,n_{c}}$, існує натуральне число ${\displaystyle \ R(n_{1},\ldots ,n_{c};m)}$ таке, що повний m-гіперграф порядку R, ребра якого розфарбовані в c різних кольорів, в якому для деякого числа i від 1 до c, існує повний під-m-гіперграф порядку ${\displaystyle \ n_{i}}$ кольору i.

Теоретико-множинне формулювання

Якщо X зліченна множина і всі множини X(n) (підмножини X потужності n) розфарбовані в c різних кольорів. Тоді існує нескінченна підмножина M в X, така що всі підмножини M потужності n мають однаковий колір.

Див. також

• Теорема Ердеша — Секереша
• Проблема трійок Буля — Піфагора

Джерела

• Теорема Ремзі [Архівовано 22 грудня 2011 у Wayback Machine.]
• Теорія Ремзі [Архівовано 5 червня 2008 у Wayback Machine.]