Теорема Юнга

Теорема Юнга — нерівність між діаметром і радіусом множини точок у будь-якому евклідовому просторі. Названо на честь Генріха Юнга.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — компактна множина діаметра ${\displaystyle d}$; тобто,

${\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|p-q\|\}}$

Тоді існує замкнута куля з радіусом

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},}$

яка містить ${\displaystyle K}$. Рівність досягається для правильного n-симплекса.

2-вимірний випадок

Найпоширенішим є випадок площини, тобто ${\displaystyle n=2}$. У цьому випадку нерівність стверджує, що існує коло, яке охоплює всі точки, радіус яких задовольняє

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Рівність досягається для рівностороннього трикутника

${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Варіації та узагальнення

Загальні метричні простори

Для будь-якої обмеженої множини ${\displaystyle K}$ у будь-якому метричному просторі виконується

${\displaystyle {\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d}$

Перша нерівність випливає з нерівності трикутника для центра кулі та двох діаметральних точок. Друга випливає з того, що куля радіуса d центрована в будь-якій точці ${\displaystyle K}$, містить всю ${\displaystyle K}$.

У дискретному метричному просторі, тобто просторі, в якому відстані між будь-якою парою різних точок рівні, досягається друга нерівність. Перша нерівність досягається в ін'єктивних просторах, таких як мангеттенськ відстань на площині.

Див. також

• Нерівність Юнга

Література

• Радемахер Г., Тёплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. — (випуск 10 серії "Библиотека математического кружка")

Посилання

• Weisstein, Eric W. Теорема Юнга(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.