Нерівність Юнга

Нерівність Юнга в математиці формулюється так: для будь-яких дійсних чисел ${\displaystyle a,b\geq 0}$ і ${\displaystyle p,q\geq 1}$ таких, що ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ справедливо:

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$.

Нерівність названа на честь англійського математика Вільяма Юнга.

Доведення

Для ${\displaystyle a=0}$ чи ${\displaystyle b=0}$ нерівність очевидна. Для ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle b>0}$ нерівність випливає з опуклості логарифмічної функції: для будь-яких ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}>0}$

${\displaystyle \ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~{\mathcal {\alpha }},\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1}$.

Взявши в даній нерівності ${\displaystyle \alpha =p^{-1},~\beta =q^{-1},~x_{1}=a^{p},~x_{2}=b^{p},}$ одержимо, що

${\displaystyle \ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p}}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln a^{p}}{p}}+{\frac {\ln b^{p}}{q}}=\ln(ab)}$,

і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.

Див. також

• Нерівність Мінковського
• Нерівність Гельдера
• Теорема Юнга

Джерела

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)