Теорема про метелика

Теорема про метелика — це класична теорема геометрії Евкліда, яку можна сформулювати так^{[1]:p. 78}:

Теорема про метелика

Нехай M — середина хорди PQ кола, через яку проведено дві інші хорди AB і CD; хорди AD і BC перетинають хорду PQ у точках X і Y відповідно. Тоді M — середина відрізка XY.

Доведення

Доведення теореми про метелика

Формальне доведення теореми таке:
Нехай з точки X опущено перпендикуляри XX′ і XX″ на прямі AM і DM відповідно. Аналогічно, нехай з точки Y опущено перпендикуляри YY′ і YY″ на прямі BM і CM відповідно.

Оскільки має місце подібність трикутників

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY'}$ за трьома кутами,

то

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'}.}$

Аналогічно, будуть подібні трикутники

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'',}$

тому виконується

${\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''}.}$

Також, будуть подібні трикутники

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'',}$

звідки

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY}.}$

І, насамкінець, з подібності

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY',}$

тому

${\displaystyle {XX'' \over YY'}={DX \over BY}.}$

З попередніх рівнянь і теореми про відрізки хорд, що перетинаються, видно, що

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''}=}$

${\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY}=}$

${\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY}=}$

${\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)}=}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

оскільки PM = MQ.
Тому

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$

Використавши основну властивість пропорції, маємо, що

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}$

Звівши подібні доданки

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}$

з обох сторін отриманого рівняння, отримаємо

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}}.}$

Отже, MX = MY, оскільки довжини MX, MY та PM — це додатні дійсні числа.
Таким чином, M — середина XY .

Існують інші доведення^[2], зокрема той, що використовує методи проективної геометрії^[3].

Історія

Доведення теореми про метелика було представлено як розв'язок задачі Вільямом Воллесом^[en] у «The Gentlemen's Mathematical Companion» (1803). Три рішення були опубліковані в 1804 році, і в 1805 році сер Вільям Гершель знову поставив задачу в листі до Уоллеса. Преподобний Томас Скарр знову поставив те саме запитання в 1814 році в Gentlemen's Diary or Mathematical Repository^[4].