Теорема тангенсів

Теорема тангенсів — тригонометричне твердження, що описує властивості довільного трикутника на площині.

Теорема тангенсів, хоча й не настільки широко відома як теорема синусів або теорема косинусів, достатньо корисна, і може бути використана в тих випадках, коли відомі дві сторони і один кут, або, навпаки, два кути й одна сторона.

Формулювання

Нехай відомі дві сторони a і b довільного трикутника і протилежні їм кути A і B, тоді теорема тангенсів стверджує, що

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {tg} [{\frac {1}{2}}(A+B)]}{\mathrm {tg} [{\frac {1}{2}}(A-B)]}}}$

Доведення

Почнемо із (a + b)/(a — b). ((sin A)/a = (sin B)/b із теореми синусів):

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {a\cdot {\frac {\sin A}{a}}+b\cdot {\frac {\sin B}{b}}}{a\cdot {\frac {\sin A}{a}}-b\cdot {\frac {\sin B}{b}}}}}$

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\sin(A)+\sin(B)}{\sin(A)-\sin(B)}}={\frac {2\sin[{\frac {1}{2}}(A+B)]\cdot \cos[{\frac {1}{2}}(A-B)]}{2\cos[{\frac {1}{2}}(A+B)]\cdot \sin[{\frac {1}{2}}(A-B)]}}}$

(Дивись: Тригонометричні функції)

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\sin[{\frac {1}{2}}(A+B)]}{\cos[{\frac {1}{2}}(A+B)]}}\cdot {\frac {\cos[{\frac {1}{2}}(A-B)]}{\sin[{\frac {1}{2}}(A-B)]}}}$

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(A+B)]}{\tan[{\frac {1}{2}}(A-B)]}}}$

Доведення з використанням формул Мольвейде

Формули Мольвейде мають такий вигляд:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} {\frac {C}{2}}}};}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} {\frac {C}{2}}}}.}$

де ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ — значення кутів при відповідних вершинах трикутника і ${\displaystyle a,\;b,\;c}$ — довжини сторін відповідно між вершинами ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$.

Поділивши порізно праві і ліві частини двох останніх рівностей і прирівнявши два отриманих результати, маємо

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}}.}$

З урахуванням того, що ${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -A-B}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}$, остаточно маємо:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}},}$

що й потрібно було довести.

Історія

Теорему тангенсів для сферичних кутів описав у XIII столітті перським математиком Насир ад-Дін ат-Тусі (1201—1274), який у своїй п'ятитомній роботі Трактат про повний чотирикутник також навів теорему синусів для плоских трикутників^[1][2].

Теорему також називають формулою Реґіомонтана за ім'ям німецького астронома й математика Йоганна Мюллера (лат. Regiomontanus), який отримав цю формулу. Й. Мюллера називали «Кенігсбержцем»: німецькою König [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.] — король, Berg [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.] — гора, а латинською «король» і «гора» в родовому відмінку — regis і montis [Архівовано 30 грудня 2021 у Wayback Machine.]. Звідси «Реґіомонтан» — латинізоване прізвисько Й. Мюллера.^[3]

Див. також

• Теорема синусів
• Теорема косинусів