Формули Мольвейде

Формули Мольвейде — тригонометричні залежності, що виражають відношення між довжинами сторін і значеннями кутів при вершинах деякого трикутника, відкриті К. Б. Мольвейде^[ru].

Трикутник на площині.

Опис

Формули Мольвейде виглядають так:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} \;{\frac {C}{2}}}},}$

де A, B, C — значення кутів при відповідних вершинах трикутника і a, b, c — довжини сторін, відповідно між вершинами B і C, C і A, A і B. Формули названо на честь німецького математика Карла Мольвейде. Формули Мольвейде зручно використовувати при розв'язуванні трикутника за двома сторонами і кутом між ними^[1]:146 і за двома кутами і прилеглою до них стороною. Аналогічні співвідношення у сферичній тригонометрії називають формулами Деламбра^:83.

Доведення

Розглянемо виведення тільки першого співвідношення, оскільки друге доводиться аналогічно.

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};}$

З теореми синусів:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

маємо:

${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {\sin A}{\sin C}}}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin B}{\sin C}}}$

звідки випливає:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}}$

Враховуючи формули подвійного кута для синуса:

${\displaystyle \sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}$,

а також формули для суми синусів:

${\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}$

маємо:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}={\frac {\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}}}$

За теоремою про суму кутів трикутника:

${\displaystyle C=\pi -(A+B)}$

звідки, з урахуванням формул зведення для косинуса випливає, що:

${\displaystyle \cos {\frac {C}{2}}=\cos {\frac {\pi -(A+B)}{2}}=\sin {\frac {A+B}{2}}}$

як наслідок, маємо:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}}}$

що й потрібно було довести.

Застосування

Поділивши окремо праві й ліві частини останніх формул, відразу отримаємо теорему тангенсів

Див. також

• Розв'язування трикутників
• Тригонометрія
• Теорема тангенсів
• Тригонометричні тотожності
• Тригонометрична функція