Тригонометрична тотожність Піфагора

Піфаго́рова (Пітаго́рова^[1]) тригонометри́чна тотожність стверджує, що для довільного кута ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$.

Цю тотожність називають також тригонометричною одиницею.

Прямокутний трикутник

Доведення

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$,

${\displaystyle \sin A={\frac {a}{c}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$,

${\displaystyle \cos A={\frac {b}{c}}={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$,

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin ^{2}A+\cos ^{2}A&=&\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\times {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\times {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {b^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&1\end{matrix}}}$,
або

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin ^{2}A+\cos ^{2}A&=&\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{c}}\times {\frac {a}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}\times {\frac {b}{c}}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&1\end{matrix}}}$.