Закон трихотомії

У математиці закон трихотомії стверджує, що кожне дійсне число є або додатним, або від'ємним, або рівним нулю.

Загальніше, бінарне відношення R на множині X є трихотомічним, якщо для всіх x і y в X виконується рівно одне з xRy, yRx і x = y. Позначивши R як <, у формальній логіці це виражається так:

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}$

За такого визначення закон трихотомії каже, що < — це трихотомічне відношення на множині дійсних чисел. Іншими словами, якщо x і y — дійсні числа, то істинне рівно одне з таких значень: x<y, x=y, y<x.

Властивості

• Відношення є трихотомічним тоді й лише тоді, коли воно асиметричне і повне.
• Якщо трихотомічне відношення також є транзитивним, то це строгий повний порядок; це окремий випадок строгого слабкого порядку^[en].^[1][2]

Приклади

• На множині X = {a,b,c} відношення R = { (a,b), (a,c), (b,c) } транзитивне і трихотомічне, отже, маємо строгий повний порядок.
• На тій самій множині циклічне відношення R = { (a,b), (b,c), (c, a) } є трихотомічним, але не транзитивним; воно навіть антитранзитивне.

Трихотомія чисел

Закон трихотомії для деякої множини чисел ${\displaystyle X}$ зазвичай каже, що деяке неявне відношення впорядкування для ${\displaystyle X}$ є трихотомічним. Прикладом є закон «Для довільних дійсних чисел ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ виконується рівно одне зі значень ${\displaystyle x<y}$, ${\displaystyle y<x}$ або ${\displaystyle x=y}$». (Деякі автори приймають значення ${\displaystyle y}$ рівним нулю, спираючись на лінійну впорядкованість групи^[en] дійсних чисел відносно додавання.)

У класичній логіці ця аксіома трихотомії справедлива для звичайних порівнянь між дійсними числами і, отже, також для порівнянь між цілими числами і раціональними числами. В інтуїціоністській логіці цей закон у цілому не виконується.^{[джерело?]}

У теорії множин Цермело — Френкеля і теорії множин Бернайса закон трихотомії справедливий для кардинальних чисел добре впорядкованих множин, але не обов'язково для всіх кардинальних чисел. Якщо аксіома вибору справджується, то між довільними кардинальними числами існує трихотомія (оскільки в цьому випадку всі вони добре впорядковуються).^[3]

Див. також

• Бегрифшриф^[de] містить раннє формулювання закону трихотомії
• Дихотомія
• Закон суперечності
• Закон виключеного третього
• Тришляхове порівняння