Впорядковане кільце

В абстрактній алгебрі впорядковане кільце — це (зазвичай комутативне) кільце ${\displaystyle R}$ із порядком ${\displaystyle \leq }$ таке, що для всіх ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ у ${\displaystyle R}$:^[1]

• якщо ${\displaystyle a\leq b}$, тоді ${\displaystyle a+c\leq b+c}$.
• якщо ${\displaystyle 0\leq a}$ та ${\displaystyle 0\leq b}$, тоді ${\displaystyle 0\leq ab}$.

Дійсні числа є впорядкованим кільцем, яке також є впорядкованим полем. Цілі числа, підмножина дійсних чисел, є впорядкованим кільцем, яке не є впорядкованим полем.

Приклади

Впорядковані кільця знайомі з арифметики. Приклади включають цілі, раціональні та дійсні числа.^[2] (раціональні та дійсні числа утворюють впорядковані поля) Комплексні числа, навпаки, не утворюють впорядкованого кільця чи поля, оскільки між елементами ${\displaystyle 1}$ та ${\displaystyle i}$ немає властивого порядку зв'язку.

Додатні елементи

За аналогією з дійсними числами, ми називаємо елемент ${\displaystyle c}$ впорядкованого кільця ${\displaystyle R}$ додатним, якщо ${\displaystyle 0<c}$, і від'ємним, якщо ${\displaystyle c<0}$. ${\displaystyle 0}$ не вважається ні додатним, ні від'ємним.

Множину додатних елементів впорядкованого кільця ${\displaystyle R}$ часто позначають ${\displaystyle R_{+}}$. Альтернативна нотація, якій віддають перевагу в деяких дисциплінах, полягає у використанні ${\displaystyle R_{+}}$ для набору невід'ємних елементів і ${\displaystyle R_{++}}$ для набору додатних елементів.

Абсолютна величина

Якщо ${\displaystyle a}$ — елемент упорядкованого кільця ${\displaystyle R}$, то абсолютна величина ${\displaystyle a}$ (позначається ${\displaystyle |a|}$) визначається так:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}{\hphantom {-}}a,&{\text{якщо }}0\leq a,\\-a,&{\text{в іншому випадку}},\end{cases}}}$

де ${\displaystyle -a}$ є протилежним до ${\displaystyle a}$ елементом і ${\displaystyle 0}$ є нейтральним елементом.

Дискретні впорядковані кільця

Дискретне впорядковане кільце або дискретно впорядковане кільце — це впорядковане кільце, в якому немає елементів між ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$. Цілі числа є дискретним впорядкованим кільцем, а раціональні числа — ні.

Основні властивості

Для всіх ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ у ${\displaystyle R}$:

• Якщо ${\displaystyle a\leq b}$ і ${\displaystyle 0\leq c}$, то ${\displaystyle ac\leq bc}$.^[3] Ця властивість іноді використовується для визначення впорядкованих кілець замість другої властивості у визначенні вище.
• ${\displaystyle |ab|=|a||b|}$.^[4]
• Впорядковане кільце, яке не є тривіальним^[en], є нескінченним.^[5]
• Справедливо одне з наступного: ${\displaystyle a}$ додатне, ${\displaystyle -a}$ додатне або ${\displaystyle a=0}$.^[6]

Ця властивість випливає з того факту, що впорядковані кільця є абелевими лінійно впорядкованими групами^[en] відносно додавання.

• У впорядкованому кільці жоден від'ємний елемент не є квадратом.^[7] Це пояснюється тим, що якщо ${\displaystyle a\neq 0}$ і ${\displaystyle a=b^{2}}$,

то ${\displaystyle b\neq 0}$ і ${\displaystyle a=(-b)^{2}}$; оскільки ${\displaystyle b}$ або ${\displaystyle -b}$ додатні, ${\displaystyle a}$ має бути невід'ємним.

Див. також

• Впорядковане поле — алгебраїчний об'єкт з упорядкованою структурою
• Впорядкована група — група із сумісним частковим порядком
• Впорядкований топологічний векторний простір^[en]
• Впорядкований векторний простір^[en] — векторний простір із частковим порядком
• Частково впорядковане кільце^[en] — кільце з сумісним частковим порядком
• Частково впорядкований простір^[en] — частково впорядкований топологічний простір
• Простір Рісса^[en] — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка
• Векторна решітка^[en] — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка