Функції Бріллюена та Ланжевена

Функції Бріллюена та Ланжевена — дві спеціальні функції, що виникають під час вивчення ідеалізованого парамагнітного матеріалу в статистичної механіці.

Функція Бріллюена

Функція Бріллюена^[1][2] — спеціальна функція, яку визначають таким рівнянням:

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}$

Функцію зазвичай застосовують (див. нижче) в контексті, де х — дійсна змінна і J — додатне ціле чи напівціле число. В цьому випадку функція змінюється від -1 до 1, досягаючи +1, при ${\displaystyle x\to +\infty }$ і -1 при ${\displaystyle x\to -\infty }$.

Найчастіше застосовують при розрахунку намагніченості ідеального парамагнетику. Зокрема, функція описує залежність намагніченості ${\displaystyle M}$ від прикладеного магнітного поля ${\displaystyle B}$ і повного кутового моменту J матеріалу, що складається з мікроскопічних магнітних моментів. Намагніченість дається формулою:

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)}$

де

• ${\displaystyle N}$ — кількість атомів на одиницю об'єму,
• ${\displaystyle g}$ — g-фактор,
• ${\displaystyle \mu _{B}}$ — магнетон Бора,
• ${\displaystyle x}$ — відношення зееманівської енергії магнітного моменту в зовнішньому полі до теплової енергії ${\displaystyle k_{B}T}$:

${\displaystyle x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}}$

де ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана, ${\displaystyle T}$ — температура.

Зазначимо, що в Міжнародній системі одиниць (SI) індукція магнітного поля ${\displaystyle B}$ вимірюється в теслах, ${\displaystyle B=\mu _{0}H}$, де ${\displaystyle H}$ — напруженість магнітного поля в А/м, ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнітна стала.

Функція Ланжевена

У класичній границі, моменти можуть неперервно вишикуватися за полем і ${\displaystyle J}$ може набувати всіх значень (${\displaystyle J\to \infty }$). У цій границі функція Бріллюена перетворюється на функцію Ланжевена, названу на честь Поля Ланжевена:

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}$

Для малих значень x, функцію Ланжевена можна розкласти в ряд Тейлора:

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots }$

Альтернативну апроксимацію можна отримати з неперервного дробу Ламберта розкладу tanh(x):

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}$

За досить малих x, обидві апроксимації чисельно кращі, ніж пряма оцінка аналітичного виразу, оскільки остання страждає від втрати значущості.

Високотемпературна границя

При ${\displaystyle x\ll 1}$, тобто, коли ${\displaystyle \mu _{B}B/k_{B}T}$ мале, намагніченість можна апроксимувати законом Кюрі:

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}$

де ${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}}$ — стала. Можна відзначити, що ${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}$ — ефективна кількість магнетонів Бора.

Границя високих полів

При ${\displaystyle x\to \infty }$ функція Бріллюена перетворюється на 1. Намагніченість насичується і магнітні моменти повністю вишиковуються в напрямку прикладеного поля:

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J}$