Характеристика Ейлера

Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору ${\displaystyle X}$ зазвичай позначається ${\displaystyle \chi (X)}$.

Визначення

• Для скінченного кліткового комплексу (зокрема, для скінченного симпліційного комплексу) ейлерова характеристика може бути визначена як знакозмінна сума

  ${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,}$

где ${\displaystyle k_{i}}$ означає число клітинок розмірности ${\displaystyle i}$.

• Ейлерова характеристика довільного топологічного простору може бути визначена через числа Бетті ${\displaystyle b_{n}}$ як знакозмінна сума:

  ${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...}$

Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні й збігаються до нуля для достатньо великих індексів.

• Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.

Властивості

• Ейлерова характеристика є гомотопічним інваріантом, тобто, зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів.
  • Зокрема, ейлерова характеристика є топологічним інваріантом.

Ейлерова характеристика поліедрів

• Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути обчислена за формулою: ${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}}$ де Г, Р і В — кількість граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь-якого многогранника справедлива формула Ейлера:

  ${\displaystyle \Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=\chi (S^{2})=2.}$

Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.

Теорема Ґауса—Бонне

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду ${\displaystyle S}$ (поверхні без краю) справедлива Формула Ґауса-Бонне, що пов'язує ейлерову характеристику ${\displaystyle \chi (S)}$ з кривиною Ґауса ${\displaystyle K}$ многовиду:

${\displaystyle \int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),}$

де ${\displaystyle d\sigma }$ — елемент площі поверхні ${\displaystyle S}$.

• Існує узагальнення формули Ґауса—Бонне для двовимірного многовиду з краєм (межею).
• Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Черна або Узагальнена формула Ґауса—Бонне.
• Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на ${\displaystyle 2\pi }$.^[1]
• Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

Орієнтовані й неорієнтовані поверхні

• Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками (тора, подвійного тора, ...) подається формулою: ${\displaystyle \chi (X)=2-2g}$, де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як ${\displaystyle \chi (X)=2-g}$.

Величина характеристики Ейлера

Назва	Вид	Ейлерова характеристика
Відрізок		1
Коло		0
Круг		1
Сфера		2
Тор (добуток двох кіл)		0
Подвійний тор		−2
Потрійний тор		−4
Проективна поверхня		1
Стрічка Мебіуса		0
Пляшка Кляйна		0
Дві сфери (незв'язані)		2 + 2 = 4
Три сфери		2 + 2 + 2 = 6

Історія

У 1752 році Ейлер ^[2] опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді

${\displaystyle ~S+H=A+2,}$

де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.

Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році ^[3].

У 1899 році Анрі Пуанкаре ^[4] узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{N-1},}$

де ${\displaystyle A_{i}}$ — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{(-1)}^{i}A_{i}=1.}$