Стрічка Мебіуса

Стрі́чка Ме́біуса чи смужка Мебіуса (німецька вимова [ˈmøbiʊs]) є поверхнею лише з одним боком і лише одним краєм. Вона має математичну властивість неорієнтованості. Також вона є лінійчатою поверхнею. Вона була незалежно відкрита німецькими математиками Мебіусом і Лістінгом в 1858 році. Однак відповідні фігури зустрічаються ще у римський мозаїці 200 - 250 років нашої ери^[1][2].

Римська мозаїка III століття нашої ери із зображенням стрічки Мебіуса, мюнхенська Гліптотека

Модель стрічки Мебіуса можна виготовити з довгої прямокутної смужки паперу, закрутивши один з її кінців на півоберту і поєднавши короткі її краї для створення замкненої поверхні.

В евклідовому просторі є два типи стрічок Мебіуса, в залежності від напряму здійсненого півоберту: закручена за годинниковою стрілкою та проти. Звідси можна зробити висновок, що стрічка Мебіуса є хіральною поверхнею.

Як абстрактний топологічний простір, стрічка Мебіуса може бути вкладена в тривимірний евклідів простір багатьма різними способами: як ліво- або правозакручена поверхня (закручена за- або проти годинникової стрілки), а також вона може бути вкладена з непарною кількістю ${\displaystyle n}$ обертів (${\displaystyle n>1}$), або з вузловим розташуванням центральної лінії.

Будь-які два вкладення з однаковим вузлом для центральної лінії і однаковою кількістю та напрямком скруток є топологічно еквівалентними. Всі ці вкладення мають лише один бік та лише одну граничну криву. Але при вкладенні в інші простори стрічка Мебіуса може мати два боки.

Рівняння

Параметричний опис стрічки Мебіуса.

Як поверхня в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, стрічка Мебіуса задається системою параметричних рівнянь:

${\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,}$

${\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,}$

${\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},}$

де ${\displaystyle 0\leqslant u<2\pi }$ та ${\displaystyle -1\leqslant v\leqslant 1}$. Ці формули задають стрічку Мебіуса ширини 1, чий центральний круг має радіус 1 та лежить у площині ${\displaystyle Oxy\ (z=0)}$ з центром в точці ${\displaystyle (0,\;0,\;0)}$. Параметр ${\displaystyle u}$ пробігає вздовж стрічки, в той час як ${\displaystyle v}$ задає відстань від краю.

В циліндричних координатах ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;z)}$, необмежена версія стрічки Мебіуса може бути представлена рівнянням:

${\displaystyle ~\log r\sin(\theta /2)=z\cos(\theta /2),}$

де функція логарифма має довільну основу.

Властивості

• Поверхня Мебіуса є найпростішою неорієнтованою поверхнею: якщо асиметричний двовимірний об'єкт один раз повністю пройде вздовж стрічки, він повернеться у вихідне положення у вигляді свого дзеркального відображення. Зокрема, вигнута стрілка, що вказує напрямок за годинниковою стрілкою (↻), пройшовши повністю вздовж стрічки, повернеться як стрілка, що вказує напрямок проти годинникової стрілки (↺). Це означає, що в межах поверхні Мебіуса неможливо послідовно визначити, що означає рухатися «за годинниковою стрілкою» чи «проти годинникової стрілки».
  Будь-яка інша поверхня є неорієнтованою тоді і тільки тоді, коли вона містить поверхню Мебіуса як підмножину.^[3]
• Стрічки Мебіуса з непарною кількістю напівобертів, більшою за одиницю, або які зав'язані вузлом перед склеюванням, відрізняються як вбудовані підмножини тривимірного простору, хоча всі вони еквівалентні як двовимірні топологічні об'єкти.^[4]

При розрізанні по центральній лінії, утворюється двобічна стрічка, вдвічі довша за початкову поверхню Мебіуса.

При розрізанні по лінії, що проходить на відстані 1/3 від краю, утворюються дві з'єднані стрічки: стрічка Мебіуса (фіолетова) та двобічна стрічка вдвічі від неї довша.

• Якщо розрізати стрічку по центральній лінії, то замість двох стрічок Мебіуса утвориться одна довга, двобічна, вдвічі більш закручена стрічка. Ця поверхня є топологічно еквівалентною до циліндра.
• Якщо тепер цю двічі скручену стрічку ще раз так само розрізати по центральній лінії, то утворяться дві з'єднані двічі скручені (двобічні) стрічки, намотані одна на одну.
• Якщо стрічку Мебіуса розрізати вздовж по лінії, що проходить від краю на третину її ширини, то отримаємо дві з'єднані між собою стрічки: одна з них, тонша, буде поверхнею Мебіуса, а друга буде двічі закрученою двобічною поверхнею.^[4]

• 
  Стрічка Мебіуса зроблена зі смужки паперу або стрічки.
• 
  Щоб перетворити прямокутник в стрічку Мебіуса, з'єднайте ребра, позначені "A" так, щоб напрями стрілок збіглися.
• 
  Схема створення стрічки Мебіуса зі смужки паперу

Символіка

Міжнародний символ переробки.

У 20 столітті бузкова стрічка Мебіуса стала символом немоногамних стосунків та вільного кохання зокрема.

Див. також

• Мебіус (фільм, 1996)
• Перетворення Мебіуса
• Плівка Мебіуса
• Пляшка Кляйна
• Резистор Мебіуса