L-момент

У статистиці, L-моменти є послідовність статистик для узагальнення форми розподілу ймовірностей. Вони є лінійними комбінаціями порядкових статистик (L-статистики), аналогічних звичайних моментів, і можуть бути використані для розрахунку величин, аналогічні стандартним відхиленням, асиметричності і ексцесу, званий L-шкали, L-асиметрію і L-ексцес відповідно (L-середні ідентичний звичайному середньому). Стандартизовані L-моменти називаються відносини L-момент і аналогічні стандартизованим моментам. Так само, як і для звичайних моментів, теоретичне розподіл має безліч популяцій L-моментів. Приклади L-моменти можуть бути визначені для вибірки з населення, і можуть бути використані як оцінки населення L-моментів

Населення L-моменти

Для випадкової величини X, r-й популяційий L-момент є ^[1]

${\displaystyle \lambda _{r}=r^{-1}\sum _{k=0}^{r-1}{(-1)^{k}{\binom {r-1}{k}}\mathrm {E} X_{r-k:r}},}$

де ${\displaystyle X_{k:n}}$ позначає порядкову статистику (k-е найменше значення) в незалежній вибірці обсягу n з розподілу X і ${\displaystyle \mathrm {E} }$ позначає очікуване значення. Зокрема, перші чотири популяційні L-моменти є

${\displaystyle \lambda _{1}=\mathrm {E} X}$

${\displaystyle \lambda _{2}=(\mathrm {E} X_{2:2}-\mathrm {E} X_{1:2})/2}$

${\displaystyle \lambda _{3}=(\mathrm {E} X_{3:3}-2\mathrm {E} X_{2:3}+\mathrm {E} X_{1:3})/3}$

${\displaystyle \lambda _{4}=(\mathrm {E} X_{4:4}-3\mathrm {E} X_{3:4}+3\mathrm {E} X_{2:4}-\mathrm {E} X_{1:4})/4.}$

Відзначимо, що коефіцієнти k-го L-моменту такі ж, як в k-го члена бінома перетворення, як він використовується в кінцевих різницях k-го порядку (кінцева аналогового до похідної).

Перші два з цих L-моментів мають звичайні назви :

${\displaystyle \lambda _{1}={\text{mean, L-mean or L-location}},}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\text{L-scale}}.}$

L-шкала дорівнює половині різниці середніх. ^[2]

Зразки L-моментів

${\displaystyle \left\{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}\right\},}$ отже, в середньому шляхом ділення біноміального коефіцієнта:

${\displaystyle \lambda _{r}=r^{-1}{\tbinom {n}{r}}^{-1}\sum _{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}}{(-1)^{r-j}{\binom {r-1}{j}}x_{j}}.}$

Угруповання цих статистик підраховує число способів елемент зразка n-елемента може бути -я елементом jth елемента підмножини, і дає формули за допомогою наступної форми. Прямі оцінок для перших чотирьох L-моментів в кінцевій вибірці з n спостережень: ^[3]

${\displaystyle \ell _{1}={\tbinom {n}{1}}^{-1}\sum _{i=1}^{n}x_{(i)}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\tfrac {1}{2}}{\tbinom {n}{2}}^{-1}\sum _{i=1}^{n}\left\{{\tbinom {i-1}{1}}-{\tbinom {n-i}{1}}\right\}x_{(i)}}$

${\displaystyle \ell _{3}={\tfrac {1}{3}}{\tbinom {n}{3}}^{-1}\sum _{i=1}^{n}\left\{{\tbinom {i-1}{2}}-2{\tbinom {i-1}{1}}{\tbinom {n-i}{1}}+{\tbinom {n-i}{2}}\right\}x_{(i)}}$

${\displaystyle \ell _{4}={\tfrac {1}{4}}{\tbinom {n}{4}}^{-1}\sum _{i=1}^{n}\left\{{\tbinom {i-1}{3}}-3{\tbinom {i-1}{2}}{\tbinom {n-i}{1}}+3{\tbinom {i-1}{1}}{\tbinom {n-i}{2}}-{\tbinom {n-i}{3}}\right\}x_{(i)}}$

де x_(i) — ithстосовно статистиці${\displaystyle {\tbinom {\cdot }{\cdot }}}$ — біноміальний коефіцієнт. Приклади L-моментів можуть бути також визначені непрямим чином з точки зору ймовірності зважених моментів, що призводить до більш ефективного алгоритму для їх обчислення.^[3][4]

Коефіцієнти L-моментів

Набір L-моментів або масштабованих L-моментів, визначається

${\displaystyle \tau _{r}=\lambda _{r}/\lambda _{2},\qquad r=3,4,\dots .}$

Найбільш корисний з таких — ${\displaystyle \tau _{3}}$, називається L- асиметрією, та ${\displaystyle \tau _{4}}$, називається L- ексцес.

Коефіцієнти L-моментів лежать в інтервалі (–1, 1). Жорсткість оцінки можна знайти для деяких певних співвідношеннях L-момент; зокрема, L-ексцес ${\displaystyle \tau _{4}}$ який лежить в [-¼,1), та

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(5\tau _{3}^{2}-1)\leq \tau _{4}<1.}$^[1]

Величина, аналогічно коефіцієнту варіації, але на основі L-моментів, також можуть бути визначені: ${\displaystyle \tau =\lambda _{2}/\lambda _{1},}$ які називаються «коефіцієнт L-варіації», або «L-CV». Для невід'ємної випадкової величини, це лежить в інтервалі (0,1) і ідентично коефіцієнту Джині.

Пов'язані з нею величини

L-моменти статистичні величини, отримані з імовірнісних зважених моментів (PWM), які були визначені раніше (1979). PWM використовуються для ефективної оцінки параметрів розподілів в спеціальній зворотній формі, такій як Gumbel, Tukeyi розподілів Wakeby

Використання

Є два найпоширеніші способи, які використовуються в L-моментах, в обох випадках за аналогією зі звичайними моментами:

1. Як статистики для даних.
2. Для отримання оцінок параметрів імовірнісних розподілів, застосовуючи метод моментів до L-моментів, а не звичайних моментів.

На додаток до виконання цих стандартних моментів, останній (оцінка) частіше робиться з використанням максимальних методів правдоподібності; Однак за допомогою L-моментів забезпечує ряд переваг. Зокрема, L-моменти є більш надійними, ніж звичайні моменти, і існування вищих L-моментів вимагає тільки те, що випадкова величина має кінцеве середнє. Одним з недоліків співвідношення L-моментів для оцінкою їх зазвичай менша чутливість. Наприклад, розподіл Лапласа має ексцес 6 і слабкі експоненційні краї, а співвідношення L-момент більше, ніж 4-е, наприклад, розподіл студентів з радіопеленгованія = 3, які мають нескінченний ексцес і набагато важчі край.

Як приклад розглянемо набір даних з декількома точками даних і одного віддаленого значення даних. Якщо звичайний стандартне відхилення цього набору даних буде прийматися під сильним впливом цієї однієї точки: Однак, якщо L-масштаб буде братися менш чутливо до цього значення даних. Отже, L-моменти є більш значущими при розгляді випадають в даних, ніж звичайні моменти. Проте, є й інші, краще відповідні методи для досягнення вищої надійності, ніж просто замінюючи моменти на L-моменти. Одним із прикладів цього, є використання L-моментів, як зведені статистичні дані в теорії екстремальних значень (EVT). Ця програма показує обмежену стійкість L-моментів, тобто L-статистичні дані не є стійкими до статистики том як одне екстремальне значення може збити їх, тому, що вони є тільки лінійні (статистика не високого порядку), вони менш схильні до екстремальних значення, ніж звичайні моменти.

Ще одна перевага L-моментів в порівнянні зі звичайними моментами є те, що їх існування вимагає тільки випадкової величини, щоб мати кінцеве середнє, так що існують L-моменти, навіть якщо вищі звичайні моменти не існують (наприклад, для розподілу студента з низьким ступенем свободи). Кінцева дисперсія додатково необхідна для того, щоб стандартні помилки оцінок L-моментів були кінцевими.^[1]

Деякі виступи L-моментів у статистичній літературі включають в книзі Девіда і Нагараджа (2003, розділ 9.9), а також ряд документів. Ряд сприятливих порівнянь L-моментів зі звичайними моментами були зареєстровані.^[5][6]

Значення для деяких загальних розподілів

У таблиці нижче наведені вирази для перших двох L-моментів і чисельних значень перших двох L-моментів співвідношень деяких загальних безперервних імовірнісних розподілів з постійними коефіцієнтами L-моментів. Більш складні отримані вирази для деяких додаткових розподілів, для яких коефіцієнти L миттю змінюються з одним або декількома з дистрибутивних параметрів, в тому числі логарифмічно нормального, гамма, узагальнення паретовського, генералізовані екстремальних значень і узагальнених логістичних розподілів. ^[1]

розподіл	Параметри	значення, λ1	L-масштаб, λ2	L-асиметрія, τ3	L-ексцес, τ4
форма	a, b	(a+b) / 2	(b–a) / 6	0	0
логістика	μ, s	μ	s	0	0.1667 !1⁄6 = 0.1667
середнє значення	μ, σ2	μ	σ / √π	0	0.1226
Лаплас	μ, b	μ	3b / 4	0	0.2357 !1 / (3√2) = 0.2357
Student's t, 2 d.f.	ν = 2	0	π/23/2 = 1.111	0	0.375 !3⁄8 = 0.375
Student's t, 4 d.f.	ν = 4	0	15π/64 = 0.7363	0	0.2168 !111/512 = 0.2168
показники	λ	1 / λ	1 / (2λ)	0.3333 !1⁄3 = 0.3333	0.1667 !1⁄6 = 0.1667
Гамбел	μ, β	μ + γβ	β log 2	0.1699	0.1504

Позначення параметрів кожного розподілу є таким же, що і в пов'язаній статті. У вираженні для середнього значення розподілу Гумбеля, γ є Euler-Mascheroni константа 0,57721 ….

Розширення

Обрізані L-моменти є узагальненням L-моментів, які дають нульову вагу до екстремальних спостереженнями. Таким чином, вони більш стійкі до наявності викидів, і на відміну від L-моментів вони можуть бути чітко визначені для розподілів, для яких середнє значення не існує, таких як розподіл Коші. ^[7]

Див. також

• L-оцінювач