PMNS-матриця

Матриця Понтекорво-Макі-Накагави-Сакати або PMNS-матриця (англ. Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata matrix), також матриця змішування лептонів або матриця змішування нейтрино — унітарна^[a] матриця змішування, яка містить інформацію про різницю між квантовими станами нейтрино під час їхнього вільного поширення й під час їхньої участі в слабкій взаємодії. Вона дає теоретичний опис осциляцій нейтрино. Матрицю ввели 1962 року Зіро Макі, Масамі Накагава та Шойчі Саката^[1] для пояснення коливань нейтрино, передбачених Бруно Понтекорво^[2].

Матриця PMNS

У стандартній моделі фізики елементарних частинок існують три покоління або «аромати» нейтрино, ${\displaystyle \nu _{\mathrm {e} }}$, ${\displaystyle \nu _{\mu }}$, та ${\displaystyle \nu _{\tau }}$, кожне з яких позначають індексом, що вказує на заряджений лептон (електрон, мюон або тау), з яким воно взаємодіє слабкою взаємодією через заряджений струм. Ці три власні стани слабкої взаємодії утворюють повний, ортонормований базис для нейтрино в межах стандартної моделі. Аналогічно, можна побудувати власний базис із трьох станів нейтрино з певною масою, ${\displaystyle \nu _{1}}$, ${\displaystyle \nu _{2}}$, та ${\displaystyle \nu _{3}}$, які діагоналізують гамільтоніан вільних нейтрино. Експериментальні спостереження осциляцій нейтрино показали, що для нейтрино, як і для кварків, ці два власні базиси різні — вони «повернуті» один відносно одного.

Отже, кожний власний стан ароматів можна записати як комбінацію власних станів мас, тобто у вигляді їх суперпозиції, і навпаки. Матриця PMNS, компоненти якої ${\displaystyle U_{\alpha \,i}}$ відповідають амплітуді масового власного стану ${\displaystyle i=}$ 1, 2, 3 у представленні аромату ${\displaystyle \alpha =}$ «e», «μ», «τ», параметризує унітарне перетворення між цими двома базисами:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}~\nu _{\mathrm {e} }\\~\nu _{\mu }\\~\nu _{\tau }~\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~U_{\mathrm {e} 1}~&~U_{\mathrm {e} 2}~&~U_{\mathrm {e} 3}\\~U_{\mu 1}&~U_{\mu 2}~&~U_{\mu 3}\\~U_{\tau 1}~&~U_{\tau 2}~&~U_{\tau 3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}~\nu _{1}\\~\nu _{2}\\~\nu _{3}~\end{bmatrix}}~.}$

Вектор зліва відповідає нейтрино, поданому у базисі ароматних власних станів, а справа стоїть матриця PMNS, помножена на вектор того ж нейтрино у базисі масових власних станів. Таким чином нейтрино певного аромату ${\displaystyle \alpha }$ є змішаним станом нейтрино з різними масами: якби можна було безпосередньо виміряти масу цього нейтрино, то ймовірність виявити масу ${\displaystyle m_{i}}$ дорівнювала б ${\displaystyle \left\vert U_{\alpha \,i}\right\vert ^{2}}$.

Матриця PMNS для антинейтрино ідентична матриці для нейтрино за умов CPT-інваріантності.

Через складнощі детектування нейтрино, визначити окремі коефіцієнти набагато складніше, ніж для аналогічної матриці змішування кварків (CKM-матриці).

Припущення

Стандартна модель

У стандартній моделі PMNS-матриця є унітарною. Це означає, що сума квадратів елементів у кожному рядку та в кожному стовпці, які відповідають ймовірностям альтернативних результатів за однакових початкових умов, дорівнює 1 (100 %).

У найпростішому випадку Стандартна модель передбачає три покоління нейтрино з масою Дірака, які осцилюють між трьома масовими власними станами; це припущення застосовується при знаходженні найкращих оцінок параметрів матриці.

Інші моделі

В інших моделях PMNS-матриця не обов'язково унітарна, і потрібні додаткові параметри для опису всіх можливих параметрів змішування нейтрино в моделях генерації маси нейтрино (наприклад, механізм гойдалки), а також у випадку, коли нейтрино мають масу Майорани замість маси Дірака.

Існують також додаткові параметри мас і кути змішування в простому розширенні PMNS-матриці, коли ароматів нейтрино більше ніж три, незалежно від характеру мас нейтрино. Станом на липень 2014 року дослідники осциляцій нейтрино активно розглядали підгонки експериментальних даних до розширеної PMNS-матриці з четвертим, легким стерильним нейтрино і чотирма масовими власними значеннями, хоча наявні експериментальні дані загалом не підтримують таку можливість^[3][4][5].

Параметризація

У загальному випадку будь-яка унітарна матриця 3×3 має дев'ять ступенів свободи. Однак для PMNS-матриці п'ять із цих дійсних параметрів можна включити у фази лептонних полів, і таким чином PMNS-матриця повністю описується чотирма вільними параметрами^[6]. PMNS-матрицю найчастіше параметризують трьома кутами змішування (${\displaystyle \theta _{12}}$, ${\displaystyle \theta _{23}}$, та ${\displaystyle \theta _{13}}$) і однією фазою ${\displaystyle \delta _{\mathrm {CP} }}$, пов'язаною з порушенням CP-інваріантності (тобто різницею у швидкостях осциляцій між двома станами з протилежними початковими умовами, що робить необхідним врахування порядку подій у часі для передбачення їхніх швидкостей осциляцій). У такому разі матрицю можна записати як:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{\mathrm {CP} }}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{\mathrm {CP} }}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{\mathrm {CP} }}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle s_{ij}}$ і ${\displaystyle c_{ij}}$ позначають ${\displaystyle \sin \theta _{ij}}$ і ${\displaystyle \cos \theta _{ij}}$ відповідно. У випадку нейтрино Майорани необхідно врахувати ще дві додаткові комплексні фази, оскільки фазу майоранівських полів не можна довільно перезаписати через умову ${\displaystyle \nu =\nu ^{c}}$. Існує нескінченна кількість можливих параметризацій; іншим поширеним прикладом є параметризація Вольфенштайна, аналогічна до CKM-матриці.

Кути змішування виміряні у низці експериментів (див. осциляції нейтрино). Фаза ${\displaystyle \delta _{\mathrm {CP} }}$, що відповідає за порушення CP-симетрії, прямо ще не виміряна, але її оцінки отримують шляхом підгонки теоретичнох моделі під інші вимірювання.

Абсолютні значення елементів матриці PMNS можна визначити з масової матриці нейтрино, використовуючи тотожність власних значень і власних векторів. PMNS-матриця допускає алгебраїчне представлення через масову матрицю нейтрино та її коваріант Фробеніуса^[en]. Амплітуди, пов'язані з нейтрино, можна виражати як через матрицю змішування, так і через масову матрицю.

Експериментально виміряні значення параметрів

Станом на листопад 2022 року найкращі оцінки параметрів за даними Nu-FIT.org, отриманими з прямих та непрямих вимірювань при нормальному впорядкуванні мас, такі^[7]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{12}&={33.41^{\circ }}_{-0.72^{\circ }}^{+0.75^{\circ }}\\\theta _{23}&={49.1^{\circ }}_{-1.3^{\circ }}^{+1.0^{\circ }}\\\theta _{13}&={8.54^{\circ }}_{-0.12^{\circ }}^{+0.11^{\circ }}\\\delta _{\textrm {CP}}&={197^{\circ }}_{-25^{\circ }}^{+42^{\circ }}\\\end{aligned}}}$

Станом на листопад 2022 року 3σ-діапазони (99,7 % довірча ймовірність) для модулів елементів матриці були такими^[7]:${\displaystyle |U|={\begin{bmatrix}~|U_{\mathrm {e} 1}|~&|U_{\mathrm {e} 2}|~&|U_{\mathrm {e} 3}|\\~|U_{\mu 1}|~&|U_{\mu 2}|~&|U_{\mu 3}|\\~|U_{\tau 1}|~&|U_{\tau 2}|~&|U_{\tau 3}|~\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}~0.803\sim 0.845~~&0.514\sim 0.578~~&0.142\sim 0.155~\\~0.233\sim 0.505~~&0.460\sim 0.693~~&0.630\sim 0.779~\\~0.262\sim 0.525~~&0.473\sim 0.702~~&0.610\sim 0.762~\end{array}}\right]}$

Для даних за вересень 2024 року див. NuFIT6^[8].

Примітки щодо найкращих значень параметрів

• Ці значення свідчать про значно сильніше змішування нейтрино, ніж змішування між ароматами кварків у матриці CKM (у матриці CKM відповідні кути змішування дорівнюють ${\displaystyle \theta _{12}=}$ 13,04°±0,05°, ${\displaystyle \theta _{23}=}$ 2,38°±0,06°, ${\displaystyle \theta _{13}=}$ 0,201°±0,011°).
• Ці значення несумісні з трибімаксальним змішуванням нейтрино^[en] (тобто ${\displaystyle \theta _{12}\approx }$ 35,3°, ${\displaystyle \theta _{23}=}$ 45°, ${\displaystyle \theta _{13}=}$ 0°) зі статистичною значущістю понад п'ять стандартних відхилень. Трибімаксальне змішування нейтрино довгий час використовувалося як наближення в теоретичних роботах з аналізу нейтринних осциляцій до появи точніших вимірювань.
• Значення ${\displaystyle \delta _{\textrm {CP}}=}$ 197°+42°
  −25° дуже складно виміряти, воно є об'єктом активних досліджень; однак поточне обмеження 169° ${\displaystyle \leq \delta _{\textrm {CP}}\leq }$ 246° у діапазоні поблизу 180° свідчить про чітку перевагу сценарію з порушенням CP-інваріантності.

Див. також

• Осциляції нейтрино
• Формула Койде
• CKM-матриця

Коментарі

1. Зверніть увагу, однак, що PMNS-матриця не є унітарною в механізмі гойдалки.