Слабка гомотопічна еквівалентність

Слабка́ гомотопі́чна еквівале́нтність — відображення між топологічними просторами, що індукує ізоморфізм гомотопічних груп.

Визначення

Нехай ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ лінійно зв'язні простори. Слабка гомотопічна еквівалентність із ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$ це неперервне відображення ${\displaystyle f:A\to B}$ таке, що індуковані відображення ${\displaystyle f_{n}:\pi _{n}(A,a_{0})\to \pi _{n}(B,b_{0})}$ бієктивні за всіх ${\displaystyle n\geq 1}$ для деякої (а отже для будь-якої) пари точок ${\displaystyle b_{0}=f(a_{0})}$.

Властивості

• Існування слабкої гомотопічної еквівалентності ${\displaystyle A\to B}$, загалом не тягне за собою існування слабкої гомотопічної еквівалентності ${\displaystyle B\to A}$.
• Ізоморфність груп ${\displaystyle \pi _{n}A}$ і ${\displaystyle \pi _{n}B}$ загалом не тягне існування слабкої гомотопічної еквівалентності ${\displaystyle A\to B}$.
• Будь-який скінченний симпліційний комплекс слабко гомотопічно еквівалентний скінченному топологічному простору^[1].

Див. також

• Псевдоколо