Геометрію гіперболоїда можна просто описати, представивши його вкладеним в фіктивний чотиривимірний простір:
- .
Введенням координат
можна задовольнити , а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)
.
Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, деякою мірою, відповідає ізотропії простору.
Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз
,
де метричний тензор має вигляд
,
для частинних випадків виразів можна отримати
;
;
оскільки, в силу структури метричних тензорів, ;
;
.
Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензора Річчі: маючи загальне визначення,
,
та вирази ,
для тензора можна отримати (сума лише по індексах )
.
Доведення.
Справді, використовуючи вирази , для доданків можна отримати наступні вирази.
Перший доданок:
.
Другий доданок залишається без змін.
Третій доданок:
.
Четвертий доданок:
.
Для двох останніх доданків доведеться повторити цю ж саму процедуру:
,
.
Отже,
.
Додавши вирази для всіх доданків та замінивши німий індекс на , можна отримати .
Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензора Річчі до метрики описаних вище просторів. Наприклад, можна взяти гіперболічний простір. Треба обчислити компоненти . Спочатку доведеться отримати, користуючись , явний вигляд для символів Кристоффеля:
,
,
,
,
,
.
Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та , має вираз
.
Компонента 22:
.
Компонента 33:
.
Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попереднім) дають
.
Отже, для гіперболоїда
.
Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для гіперболоїда скалярна кривина рівна
.
Отже, гіперболічний простір — простір з постійною скалярною кривиною.