Loading AI tools
математичний об'єкт З Вікіпедії, вільної енциклопедії
У математиці структурою інцидентності називається трійка
де P — це множина «точок», L — множина «ліній», а — відношення інцидентності. Елементи називаються прапорами. Якщо
ми кажемо, що точка p «лежить на» лінії . Можна уявити L як множину підмножин P, і інцидентністю I буде включення ( тоді і тільки тоді, коли ), але можна думати більш абстрактно.
Структури інцидентності узагальнюють площини (такі як афінні[en], проєктивні і площини Мебіуса), як можна бачити з аксіоматичних визначень цих площин. Структури інцидентності також узагальнюють геометричні структури вищої розмірності; при цьому скінченні структури іноді називають скінченними геометріями.
Зображення структури інцидентності може мати вигляд графу, але в графах ребро має тільки дві кінцеві точки, тоді як лінія в структурі інцидентності може бути інцидентною більш ніж двом точкам. Таким чином, структури інцидентності є гіперграфами.
У структурі інцидентності немає поняття точки, що лежить між двома іншими точками. Порядок точок на лінії не визначено. Порівняйте з упорядкованою геометрією[en], в якій є відношення «лежить між».
Якщо обміняти ролі «точок» і «ліній» у структурі інцидентності
Ця операція є абстрактною версією проєктивної двоїстості.
Структура C, ізоморфна своїй двоїстій структурі C* називається самодвоїстою.
Кожен гіперграф або систему множин можна розглядати як структуру інцидентності, в якій універсальна множина відіграє роль «точок», відповідна система множин відіграє роль «ліній», а відношення інціденції — це належність «∈». Навпаки, будь-яку структуру інціденцій можна розглядати як гіперграф.
Зокрема, нехай
Відповідна структура інцидентності називається поверхнею Фано.
Лінії — точно підмножини точок, що складаються з трьох точок, мітки яких доповнюються до нуля доданням німбера[en].
Структуру інцидентності можна моделювати за допомогою точок і кривих у евклідовій геометрії зі стандартним геометричним включенням як відношенням інцидентності. Деякі структури інцидентності допускають подання за допомогою точок і прямих, однак, наприклад, поверхня Фано не має такого подання.
Будь-яка структура інцидентності C відповідає двочастковому графу, званому графом Леві, або графом інцидентності структури. Оскільки будь-який двочастковий граф можна розфарбувати в два кольори, вершини графу Леві можна розфарбувати в білий і чорний кольори, де чорні вершини відповідають точкам і білі вершини відповідають лініям C. Ребра цього графу відповідають прапорам (інцидентним парам точка/лінія) структури інцидентності.
Граф Леві поверхні Фано — це граф Хівуда. Оскільки граф Хівуда — зв'язний і вершинно-транзитивний, існує автоморфізм (такий, наприклад, як відбиття відносно вертикальної осі на малюнку справа), який обмінює білі й чорні вершини. Звідси випливає, що поверхня Фано самодвоїста.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.