Limite

In matemàdega, el conceto de limite el descrive come che na funsion la se conporta man man che el so argomento el va vissin a un vaeor determinà o come che na succession la va man man che el so indice cresse all'infinito.

I limiti i se dopara in tute e parti dell'anaisi matemàdega, ad esempio i se dopara par dire co che na funsion la ze continua, cossa che la ze na derivada o cossa chel xe on integral.

Nea storia

L'idea de limite la gera za 'sta intuia in ani antichi, Archimede la gheva pensà inte el so metodo de esaustion e Newton Leibniz, Eulero e D'Alembert la gheva doparà un fià ala bona xà ala fin del 1600.

A prima definission de limite co un fià pì de criterio la ze stada data da Cauchy inte el 1800, fin rivare a quea ultima che ga dato Weierstrass

El conceto el ze sta trasà par intiero soeo par merito de Heine che inte el 1872 el ga fato suceso publicando on testo dove chel scriveva e regoe e le proprietà del limite.

Altri studiusi i se ga interessà a la roba, 'ndando a fondo man man che li studiava l'anaisi infinitesimae. Nomi inportanti i ze cheli de Bolzano, Dedekind e Cantor.

El ze parò solo inte el 1922 che Eliakim Hastings Moore ed H.L. Smith i ga dato na idea generae del limite (topoeogica) ^[1], che la ze quea che al dì de on'co doparemo in matemàdega. Inte el 1937, Henri Cartan ga dato on idea conpagna usando el conceto de filtro.

Limite de na succession

Na sucession ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ de numari reai la ga come limite el numaro ${\displaystyle a}$ se, man man che la cresse ${\displaystyle n}$, i termini dea succession "i ze pitosto vissini" al vaeore ${\displaystyle a}$.

'Sta idea vien data con ${\displaystyle \varepsilon >0}$ picenin quanto che ti vol, el ghe sie on numero natural ${\displaystyle N}$ chel fasse in modo che ${\displaystyle |a_{n}-a|<\varepsilon }$ par ogni ${\displaystyle n>N}$.

Na sucession la poe anca no aver limite,

par esempio ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$

che vien data da:

${\displaystyle 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots }$ no ga limite.

Parò, se existe el limite ${\displaystyle a}$, se dixe che a succession la converze a ${\displaystyle a}$;

in sto caso el limite el ze uno solo (na sucession no la poe converzare a do valori diversi).

Ad esenpio, a sucession ${\displaystyle a_{n}=1/n}$, data da:

${\displaystyle 1,1/2,1/3,1/4,\ldots }$ la converse a zero.

Se ciapemo on spassio topologico ${\displaystyle X}$,

na succession ${\displaystyle x_{n}}$ con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ la ga tendense verso el limite ${\displaystyle a\in X}$ se, comunque el se ciape on intorno ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle a}$,

ghe ze on numero natural ${\displaystyle N}$ in modo che ${\displaystyle x_{n}\in B}$ par tuti i ${\displaystyle n>N}$,

e se scrive:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

Se ${\displaystyle X}$ el ze on spassio de Hausdorff, se ghe ze el limite de ${\displaystyle x_{n}}$ che ga ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, non ghin ze altri.