phép toán tập hợp với kết quả là một tập hợp chứa các phần tử thuộc tất cả các tập hợp trong phép toán From Wikipedia, the free encyclopedia
Cho A và B là hai tập hợp. Giao hay Intersection của A và B là tập gồm những phần tử thuộc cả A và B, ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của A và B được viết là "A ∩ B".[1] Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử mà cả A và B có điểm chung.
Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ "và" giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ "và" trong tiếng Anh.
Phép giao được ký hiệu bằng ""; Ví dụ chẳng hạn:
Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:
tương tự với ký hiệu sigma viết hoa.
Giao của hai tập hợp và , ký hiệu bởi [2] là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợp và vừa thuộc tập hợp Khi viết bằng ký hiệu:
Nghĩa là, là phần tử của giao khi và chỉ khi vừa là phần tử của và vừa là phần tử của [2]
Thêm ví dụ:
Ta nói tập hợp giao với tập hợp nếu tồn tại phần tử vừa thuộc vừa thuộc .
Ngược lại, ta nói tập hợp và không giao nhau hay rời nhau nếu không giao với Nghĩa là chúng không chung một phần tử nào cả. Tập hợp và không giao nhau nếu giao của chúng là tập rỗng, được ký hiệu là
Ví dụ chẳng hạn, tập và không giao nhau, còn tập các số chẵn giao với tập của các số chia hết cho 3 tại các bội của 6.
Phép giao là phép toán có tính kết hợp; tức là, cho bất kỳ tập và ta có
Do vậy, dấu ngoặc có thể bỏ đi mà không làm mất giá trị: cả hai cái trên đều có thể viết thành . Phép giao còn có tính giao hoán. Tức là cho bất kỳ tập và ta có Giao của bất kỳ tập hợp với tập rỗng sẽ ra tập rỗng; nghĩa là cho bất kỳ tập hợp , Ngoài ra, phép giao còn có tính lũy đẳng; tức là, cho bất kỳ tập , . Tất cả tính chất này đều đương tự với phép hội.
Phép giao phân phối trên phép hợp và ngược lại. Nghĩa là cho bất kỳ tập và ta có Trong vũ trụ ta định nghĩa phần bù của là tập các phần tử thuộc nhưng không thuộc Sử dụng định nghĩa này, giao của và có thể viết lại thành bù của hợp của bù của mỗi phần tử, dễ dàng suy ra từ luật De Morgan:
Dạng tổng quát nhất là giao của một họ tập hợp . Nếu là tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thì là phần tử của giao của khi và chỉ khi với mọi phần tử thuộc là phần tử thuộc Viết bằng ký hiệu:
Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Các nhà lý thuyết tập hợp sẽ đôi khi viết "", trong khi một số sẽ viết "". Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành "", tức là giao của họ Trong đó là tập chỉ số khác rỗng và là tập hợp với mọi
Khi tập chỉ số là tập các số tự nhiên, ký hiệu giao có thể viết lại thành: giống với chuỗi.
Nếu khó khi định dạng, ta cũng có thể viết "".
Trong phần trước, ta vẫn chưa xét trường hợp là tập hợp rỗng (). Lý do là bởi: Giao của họ được định nghĩa là tập (xem ký pháp xây dựng tập hợp) Nếu rỗng, thì không có tập nào thuộc , nên câu hỏi trở thành "phần tử nào sẽ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa?". Câu trả lời có vẻ như là mọi phần tử . Khi rỗng, điều kiện cho trên là một ví dụ của chân lý rỗng. Do đó, giao của họ rỗng phải là tập phổ dụng (phần tử đơn vị cho phép giao),[3] , song trong lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel, tập phổ dụng không tồn tại.
Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập cho trước, thì giao của họ rỗng các tập con của được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu rỗng thì giao của nó sẽ là . Bởi đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con của là toàn bộ của Nói bằng công thức, Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.