Đa tạp đại số
From Wikipedia, the free encyclopedia
Đa tạp đại số là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhất trong hình học đại số. Đa tạp đại số ban đầu được định nghĩa là tập nghiệm của hệ phương trình đa thức trên số thực hoặc số phức. Toán học hiện đại tổng quát hóa định nghĩa này mà vẫn giữ tính hình học đằng sau định nghĩa gốc.[1]:58
Các cách gọi đa tạp đại số có thể khác nhau một chút. Lấy ví dụ như, một số định nghĩa yêu cầu đa tạp phải bất khả quy, nghĩa là nó không phải hợp của hai tập nhỏ hơn và đóng trong tôpô Zariski. Dưới định nghĩa này, đa tạp đại số khả quy thì được gọi là tập đại số. Một số cách gọi khác không yêu cầu tính bất khả quy.
Định lý cơ bản của đại số đặt ra mối quan hệ giữa đại số và hình học bằng việc chỉ ra rằng đa thức monic (một đối tượng đại số) trong 1 biến với hệ số phức được xét theo các không điểm của nó (một đối tượng hình học) trên mặt phẳng phức. Tổng quát hóa kết quả này, Nullstellensatz của Hilbert đưa ra tương thích cơ bản giữa ideal của các vành đa thức với các tập đại số. Sử dụng Nullstellensatz và các kết quả liên quan, các nhà toán học đã đặt ra mối tương thích mạnh giữa các câu hỏi trên tập đại số và các câu hỏi trên lý thuyết vành. Sự tương thích này là một trong những đặc điểm nổi bật của hình học đại số.
Các đa tạp đại số thường là đa tạp nói chung, nhưng các đa tạp đại số có thể có các điểm kỳ dị trong khi đa tạp thì không thể có. Đa tạp đại số có thể được mô tả bằng số chiều. Đa tạp đại số có chiều bằng 1 được gọi là đường cong đại số còn đa tạp với chiều bằng 2 thì được gọi là mặt phẳng đại số.
Trong bối cảnh lý thuyết lược đồ hiện đại, một đa tạp đại số trên 1 trường là một lược đồ (bất khả quy và đã rút gọn) trên 1 trường với các cấu xạ cấu trúc được tách và thuộc dạng hữu hạn.