三角函數

三角函數，勾股弦與角之繫也。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

定義

直角三角形

直角三角形，取一銳角，簡曰角。為便捷計，不論長短，角之對邊曰勾，角之旁曰股。

角之正弦者，弦（${\displaystyle r}$）除勾（${\displaystyle y}$）也（記曰${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y}{r}}}$）；

餘弦者，弦除股（${\displaystyle x}$）也（記曰${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x}{r}}}$）；

正切者，股除勾也（記曰${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y}{x}}}$）；

餘切者，勾除股也（記曰${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {x}{y}}}$）；

正割者，股除弦也（記曰${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}}}$）；

餘割者，勾除弦也（記曰${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}}}$）。

圓

迨坐標幾何生，其義遂新。以零點為心，徑一作一圓。定其始邊，凡一角，應圓上一點，使徑為弦，縱座標勾，橫為股。因有：

首象限，即自東（零度）始，迄北（九十度），正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正；

次象限，即自北（九十度）始，迄西（百八十度），正弦、餘割為正，餘弦、正割、正切、餘切皆負；

三象限，即自西（百八十度）始，迄南（二百七十度），正弦、餘弦、正割、餘割皆負，正切、餘切為正；

四象限，即自南（二百七十度）始，迄東（三百六十度，即零度），正弦、餘割、正切、餘切皆負，餘弦、正割為正。

級數

以弧度觀之，奇數乘方除以階乘（${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$），再以正負之法合之，得正弦級數（${\displaystyle \sin \alpha =\alpha -{\frac {\alpha ^{3}}{3!}}+{\frac {\alpha ^{5}}{5!}}-......=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ ）。

偶乘方除以階乘（${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2n}}{(2n)!}}}$），同法合之，得餘弦（${\displaystyle \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2!}}+{\frac {\alpha ^{4}}{4!}}-......=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n}}{(2n)!}}}$ ） 。

若依此法，以弧長入，出之長，則三角函數可入複數、矩陣、算子，不必拘於角耳。

指數

歐拉究級數，得歐拉等式，知三角函數可以指數示之。取一角，乘負一開方，歐拉數之其乘方，得一數（${\displaystyle e^{i\alpha }}$）；減倒數，半之，除以負一開方，得正弦（${\displaystyle \sin \alpha \,=\,{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha } \over 2i}}$）；加倒數，半之，得餘弦（${\displaystyle \cos \alpha \,=\,{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha } \over 2}}$）。

公式

商關係

• ${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$
• ${\displaystyle \cot x={\frac {\csc x}{\sec x}}}$

平方關係

• ${\displaystyle {(\sin x)}^{2}+{(\cos x)}^{2}=1}$
• ${\displaystyle 1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x}$
• ${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$

和角、差角公式

• ${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}$
• ${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}$
• ${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}}$

倍角公式

• ${\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}$
• ${\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x}$
• ${\displaystyle \tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}}$

積化和公式

• ${\displaystyle \sin x\cos y={\frac {1}{2}}[\sin(x+y)+\sin(x-y)]}$
• ${\displaystyle \cos x\cos y={\frac {1}{2}}[\cos(x+y)+\cos(x-y)]}$
• ${\displaystyle \sin x\sin y=-{\frac {1}{2}}[\cos(x+y)-\cos(x-y)]}$

和化積公式

• ${\displaystyle \sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}{2}}\cos {\frac {x\mp y}{2}}}$
• ${\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}$
• ${\displaystyle \sin x+\sin y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}$

另有多倍角之式，然其煩雜，不易撰之，是以簡略。

見

• 三角學
• 雙曲函數
• 數學分析