九章算術

《九章算術》九卷，算經也。《算經十書》之最要者。著者不可考。 公以為歷代各家增補訂纂，流成今本。收於四庫全書子部。有二百四十六題二百有二術，質素俱佳，人嘉納之。 ^[一]

九章算術細草圖說

體

《九章算術》凡二百四十六題，分九類，問後列解。

1. 方田章：田畝面積及分數之算。統會分數以述其理者，舉世莫先於《九章》。 ^[二]
2. 粟米章：市粟米市之法，內有比例之題。 ^[二]
3. 衰分章：述衰分（分配比例）之法。 ^[二]
4. 少廣章：述開平方、開立方之法。 ^[二]
5. 商功章：述砼、工量之問，以體積之算爲主。 ^[二]
6. 均輸章：比例之題，若計稅云者。 ^[二]
7. 盈不足章：答雙設法之問^[二]。 ^[三]
8. 方程章：解方程之法及正負數之加減法。究此道者，莫早於《九章》。 ^[二]
9. 勾股章：述勾股之法也。 ^[二]

著

實數

《九章》之於自然數及其運算，未詳加論述，然其使用不可不謂廣。又盡列分數之義、質、四則運算。如：約分術、合分術（加法）、減分術（減法）、乘分術（乘法）、經分術（除法）、課分術（較大小）、平分術（平均數）。《九章》亦見負數之名，列其加、減之則^[四][五]，然乘除未載。 亦論自然數、分數、正負數，又記特理^[五]。

比例與盈虧演算法

《九章》列數法。有今有術（以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一）、衰分術（各置列衰，副併為法，以所分乘未併者各自為實，實如法而一）。 合衰分術、反比例，曰反衰術。 亦有反比例演算法、複比例演算法、連比例演算法、配分比例演算法。 集一盈一不足，兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足之問，廣列其法，曰盈不足術，預設一答，若合之，則答乃答也，若不合，非盈即不足。又含初等超越方程之題，可解近似之解^[五]。

求積與勾股

所載圖形，多直線與圓，算田也，述計方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田、宛圓面積之法，獨成一家^[五]。

勾股計算有四類：勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似^[五]。

勾股互求，可推求他線。 勾股整數，推求勾、股、弦，而均得整數。 勾股兩容，可求勾股形內含正方形及內切圓之法。 勾股相似，可測遠近，求高卑。 ^[五]。

《九章算術》答問有三部：體積演算法、面積演算法、線段演算法，分屬商功、方田、勾股三章^[五]。

開方與方程

平方術、開立方術、解線性方程組之法，亦《九章》之所述，而中國古算學之要者也。《九章》述之也詳盡矣。開平方術、開立方術，可解二項二次方程、二項三次方程，亦可解常二次數值方程、三次數值方程。考中國算學史，高次數值方程之解，即以之為基。^[五]

方程章所論「方程」，大類方今線性方程組也。 所論「方程術」，亦曰「直除法」。 「直除」者，累減也，「直除法」者，累減消元法也，其法同今世^[五]。

方程章列十八題，有二元一次方程組，有三元一次方程組，有五元一次方程組。 其十三題為：「今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。 如各得所不足一綆，皆逮。 問井深，綆長各幾何」。 所問者，六未知數之值。然可列一次方程者五。夫一次不定方程組，舉世莫早乎《九章》。^[五]

傳世

九章算術影宋本

《九章》之後，數學統系俶成，是為垂範^[五]。 北宋政府刊刻，民多解之。 ^[六][五]。

隋、唐時，傳至日本、朝鮮。後遠傳多國，今有日、俄、英、法、德等地譯本^[六]。