勾股定理

勾股定理，西方曰畢氏定理，直角三角形之理也。餘弦定理之特例，亦為托勒密定理之特例。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

平面幾何

勾股定理云：「勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。」

中華曰商高肇之，故又曰商高定理，始述於周髀算經，東漢末趙爽以勾股方圓圖證；泰西曰畢氏定理，古埃及人或巴比倫人所肇，古希臘畢達哥拉斯始證。

有證逾百，皆以歐氏幾何，蓋其等價平行公理也。

非歐幾何

觀球面，勾股定理云：「勾股各除以半徑，取餘弦，乘之，股除以半徑之餘弦也。」（${\displaystyle \cos {\frac {a}{R}}\cos {\frac {b}{R}}=\cos {\frac {c}{R}}}$）

觀曲率為負一之雙曲平面，勾股定理云：「勾股各取雙曲餘弦，乘之，股之雙曲餘弦也。」（${\displaystyle \cosh a\cosh b=\cosh c}$）

證明

趙爽「勾股圓方圖」之證

勾股冪合以成弦冪

「

按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。

」

——三國·吳國·趙爽，《周髀算經注》

釋：設「勾」為 a，「股」為 b，「弦」為 c。「勾股相乘」乃 ab ，即朱實二（因朱實乃三角形，面積乃 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}ab}$ 也）。倍之者，乃 2ab ，即朱實四也。「勾股之差」乃 b-a ，其方者乃 ${\displaystyle (b-a)^{2}}$ ，黃實也。朱實四及黃實之和，弦實也，即 ${\displaystyle c^{2}}$ 。是故 ${\displaystyle 2ab+(b-a)^{2}=c^{2}}$ ，化簡得 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ 。勾股定理得證矣。

簡述之，則以

${\displaystyle c^{2}=4\cdot {\frac {1}{2}}ab+(a-b)^{2}}$

${\displaystyle 2ab+a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle =a^{2}+b^{2}}$

即勾股定理${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

c者，大方之邊也，2ab者，朱實之幂也。

趙爽 勾股圓方圖證勾股定理

劉徽「割補術」之證

劉徽 青朱出入圖

「

勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。

」

——三國·魏國·劉徽，《九章算術注》

釋：設「勾」為 a，「股」為 b，「弦」為 c。「勾自乘」乃 ${\displaystyle a^{2}}$ ，即「朱方」；「股自乘」乃 ${\displaystyle b^{2}}$ ，即「青方」。朱方及青方之和，等於大正方形之面積，乃「弦方」，即 ${\displaystyle c^{2}}$ 。故 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ 也。

歐幾里得《幾何原本》之證

歐幾里得《幾何原本》之證

${\displaystyle \triangle ABC}$為一直角三角，其${\displaystyle \angle CAB}$者，直角也。自點${\displaystyle A}$作垂線於對邊。延是線，分對邊之方為二，其面積如二方之和也。

證之先，有四輔助定理：

• 有三角形二，若等其二邊，并等其夾角，則二者全等也。（邊角邊定理）
• 三角形之面積者，同底同高之平行四邊形面積之半也。
• 方之面積者，邊長平方也。
• 任一矩形之面積者，長寛之乘積也（據輔助定理三）。

證之思：此二正方，輔以同底等高之三角形，據其面積等於下二等面積之矩形也。

證明輔圖二

證明：

1. 設${\displaystyle \triangle ABC}$為一直角三角形，其${\displaystyle \angle CAB}$者，直角也。
2. 其邊，${\displaystyle {\overline {BC}}}$、${\displaystyle {\overline {AB}}}$、${\displaystyle {\overline {CA}}}$也。依序成矩，CBDE、BAGF及ACIH也。
3. 經點A作平行線於${\displaystyle {\overline {BD}}}$、${\displaystyle {\overline {CE}}}$也。分交${\displaystyle {\overline {BC}}}$及${\displaystyle {\overline {DE}}}$、於K、L也。
4. 連${\displaystyle {\overline {CF}}}$、${\displaystyle {\overline {AD}}}$，三角${\displaystyle \triangle BCF}$並${\displaystyle \triangle BDA}$成也。
5. ${\displaystyle \angle CAB}$及${\displaystyle \triangle BAG}$者，直角也。是故C、A、G共落於一線。同理可證B、A、H共線。
6. ${\displaystyle \angle CBD}$、${\displaystyle \angle FBA}$，皆直角也，故${\displaystyle \angle ABD}$等於${\displaystyle \angle FBC}$。
7. 因${\displaystyle {\overline {AB}}}$、${\displaystyle {\overline {BD}}}$分同於${\displaystyle {\overline {FB}}}$、${\displaystyle {\overline {BC}}}$，故${\displaystyle \triangle ABD}$之面積同於${\displaystyle \triangle FBC}$。
8. A、K、L共線，故矩BDLK之面積，二倍於${\displaystyle \triangle ABD}$也；C、A、G三點共線，故矩BAGF之面積，倍於${\displaystyle \triangle FBC}$也。
9. 是故矩形BDLK之面積，等於BAGF之面積也，乃${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}}$也。同理可證，CKLE之面積，等於ACIH之面積也，乃${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}}$。
10. 求和，得 ${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}}$。
11. 又${\displaystyle BD=KL}$，${\displaystyle {\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}={\overline {BD}}({\overline {BK}}+{\overline {KC}})={\overline {BD}}\times {\overline {BC}}}$。
12. 又四邊形CBDE者，正方形也，故${\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BC}}^{2}}$也。

是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節^[一]。