度量空間

度量空間，度量之所也。夫度量者，相去之程也。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

定義

量度空間者，集合也，凡二物之間必有一數，曰度量（「d」）^[一]。凡度量者，必以下是從：

• 二物之度量，非負也。（「${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$」）
• 二物之度量為零，同乎二物皆一也。（「${\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$」）
• 甲乙之度量，同乎乙甲之度量。（「${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$」）
• 甲乙之度量，少於甲丙與乙丙度量之和矣（「${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$」）。此謂三角不等式也。

取一物曰心（a），及一正數曰半徑（r）。凡與心之度量小於半徑者，聚以成集，謂開球（「B(b,r)={ x | d(x,a) < r}」）。任意開球之並，曰開集。故度量空間實拓撲空間也。

例

• 取一集，凡相異之物，度量為一。此度量空間，其子集皆開集也。
• 歐幾里德空間者，高維實空間（「${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$」）合一度量也。凡二點，合其差各部之方，再開方，則得歐幾里德度量。（「${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}}$」）
• 實高維實空間，凡二點，合其差各部之模，得一度量也。（「${\displaystyle d(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+\cdots +|x_{n}-y_{n}|}$」）
• 範空間者，度量空間也。