玻爾模型

玻爾模型，原子結構模型也。丹麥人玻爾倡之於一九一三年。量子化析之，究莫破電子之運動。初有芮得柏公式，論氫原子之譜線，今闡以模型也。

模型所論電子，克乎殼層，繞核而動也。躍遷高軌，釋電磁波，至低軌，則取之。^[一]電子軌道旌以灰圈，半徑自主量子數平方n²益增，遷三軌至二軌，為巴耳末系之第一譜線，色赤（波長六百五十六納米）。

論

模型假定有二：

• 乎氫原子，電子繞核，為圓周運動。
• 軌動電子之角動量 ${\displaystyle L}$ 定量為正整數乘以約化普朗克常數 ${\displaystyle \hbar }$。

軌道半徑量子化

按假定一，電子繞核以圓，是謂經典軌。電子運動之向心力者，乃電磁力所得：

${\displaystyle m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r^{2}}}}$，

以 ${\displaystyle m_{e}}$ 為電子質量，${\displaystyle v}$ 為電子速，${\displaystyle r}$ 為電子軌道半徑，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ 為電常數，${\displaystyle e}$ 為基本電荷。

故得半徑

${\displaystyle r={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{e}v^{2}}}}$，

又可計圓周運動之角動量，為半徑動量之積：

${\displaystyle L=rm_{e}v}$。

故，按假定二，有速

${\displaystyle v=L/rm_{e}=n\hbar /rm_{e}}$，

以 ${\displaystyle n}$ 為主量子數，${\displaystyle \hbar }$ 為約化普朗克常數。

併以上兩式，可得

${\displaystyle r={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}n^{2}}$。

又書

${\displaystyle r=an^{2}}$；

以 ${\displaystyle a={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}\approx 5.29\times 10^{-11}m}$ 為玻爾半徑。

乎氫原子玻爾模型者，電子視核為圓心，又有量子化半徑，半徑之細極也。電子弗可更趨於核，電子以圓周加速運動，亦不放光矣。

軌道能量量子化

電子繞核之軌能 ${\displaystyle E}$ ，乃動能 ${\displaystyle K}$ 、勢能 ${\displaystyle V}$之和：

${\displaystyle E=K+V={\frac {1}{2}}m_{e}v^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r}}}$。

代軌道半徑式至上式，可得

${\displaystyle E=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\ {\frac {1}{n^{2}}}\approx -{\frac {13.60eV}{n^{2}}}}$。

乎氫原子玻爾模型者，軌能有定量，反比於主量子數平方。此乃受縛電子之能也。若設核固定不動，則亦為氫原子之能量也。

躍遷能量變化

電子者定態，只存於能量穩態也。能量若有遷，則躍遷乎兩定態間，故電子只可為諸分立定態矣。若躍遷諸定態，則有食釋光波也：

${\displaystyle h\nu =\Delta E=E_{n'}-E_{n}}$，

以 ${\displaystyle \nu }$ 為頻率。

代軌道能量式於上式，可得

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n'^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$。

復書，得裡德伯公式：

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{n'^{2}}}\right)}$。

以 ${\displaystyle R={\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$ 是裡德伯常數。

他山

• 原子軌域