和平方

此条目介绍的是乘法公式。关于完美正方形，请见“完美正方形”。关于完全平方，请见“完全平方”。

和平方是数学公式的一种，它属于乘法公式及因式分解，现时经常使用。和平方是指两个数目的总和的平方，公式是：

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}$

验证

基本验证

和平方可直接利用因式分解验证。公式如下：

${\displaystyle (a+b)^{2}}$

${\displaystyle =(a+b)(a+b)}$

${\displaystyle =a(a+b)+b(a+b)}$

${\displaystyle =a^{2}+ab+ab+b^{2}}$

${\displaystyle =a^{2}+2ab+b^{2}}$

简单验证

和平方亦可以表格形式验证：

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

x)	${\displaystyle a}$	${\displaystyle +b}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle +ab}$
${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +ab}$	${\displaystyle +b^{2}}$

几何验证

和平方可透过图表来验证。右图中，是一个${\displaystyle (a+b)^{2}}$的正方形。可在右图中分割为四部分：

• ${\displaystyle a^{2}}$
• ${\displaystyle ab}$
• ${\displaystyle ab}$
• ${\displaystyle b^{2}}$

将四部分加在一起：

${\displaystyle a^{2}+ab+ab+b^{2}}$

${\displaystyle =a^{2}+2ab+b^{2}}$

三数和平方

三数和平方，指三个（或可多个）数目的总和的平方，得来的公式是：

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac\,\!}$

验证

验证方法与两数和平方差不多，可透过多项式乘法验证：

${\displaystyle (a+b+c)^{2}}$

${\displaystyle =(a+b+c)(a+b+c)}$

${\displaystyle =a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)}$

${\displaystyle =a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}}$

${\displaystyle =a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac}$

三数和平方亦可以表格形式验证：

${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac}$

x)	${\displaystyle a}$	${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +c}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle +ab}$	${\displaystyle +ac}$
${\displaystyle +b}$	${\displaystyle +ab}$	${\displaystyle +b^{2}}$	${\displaystyle +bc}$
${\displaystyle +c}$	${\displaystyle +ac}$	${\displaystyle +bc}$	${\displaystyle +c^{2}}$

透过几何验证也同样，根据右图将所有部分加在一起：

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ab+bc+bc+ac+ac}$

${\displaystyle =a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac}$

内部链接

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